Question

Решите уравнение cos^2 x=cosx

Answer 1

Решить уравнение cos^2 x=cos x.

Ответ:

x₁=2πn, n ∈ Z и х₂=π/2+πn, n ∈ Z.

Пошаговое объяснение:

$\LARGE \boldsymbol {} \cos^2x=\cos x$

Вводим замену cos x = t, t ∈ [-1;1].

$\LARGE \boldsymbol {} t^2-t=0\\\\t(t-1)=0\\\\t=0 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:t-1=0\\\\t_1=0\in[-1;1]\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:t_2=1\in[-1;1]$

Возвращаемся к замене.

$\LARGE \boldsymbol {} \cos x = 1 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \cos x =0$

Это частные случаи:

Если cos a = 1, то a = 2πn, n ∈ Z.

Если cos a = 0, то a = π/2+πn, n ∈ Z.

Соответственно, мы имеем два корня:

$\LARGE \boldsymbol {} \cos x = 1 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \cos x =0 \\\\x_1=2\pi n, n\in Z\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x_2=\frac{\pi }{2} +\pi n, n\in Z$