Знайти величину кута між площинами x+2y-z+3=0 і 2x-2y-4z+8=0 та обчислити відстань від точки A(4;0;3) до першої площини.
Ответы
Знайти величину кута між площинами x+2y-z+3=0 і 2x-2y-4z+8=0 та обчислити відстань від точки A(4;0;3) до першої площини.
Формула для вычисления угла между плоскостями
Если заданы уравнения плоскостей A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²)
Подставим значения коэффициентов:
cos〖α=(1*2+2*(-2)+(-1)*(-4))/(√(1^2+2^2+(-1)²)*√(2^2+(-2)^2+(-4)²))〗=2/(√6*√24)=1/11.
Угол равен: α = arccos(1/11) = 1,479761549 радиан или 84,78409143 градуса.
2) Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/(√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данные:
d = |1·4 + 2·0 + (-1)·3 + 3|/√(1² + 2² + (-1)²) = |4 + 0 - 3 + 3|/√(1 + 4 + 1) =
= 4/√6 = (2/3)·√6 ≈ 1.632993.