Question

найти производную
$y = \tan( \frac{x + 1}{x} )$
​

Answer 1

Основные формулы дифференцирования:

$(\mathrm{tg}\,x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}$

$\left(\dfrac{1}{x} \right)'=-\dfrac{1}{x^2}$

Дифференцирование сложной функции:

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Рассмотрим функцию:

$y = \mathrm{tg}\,\dfrac{x + 1}{x}$

Находим производную:

$y' =\dfrac{1}{\cos^2\frac{x + 1}{x} }\cdot\left(\dfrac{x + 1}{x} \right)'=\dfrac{1}{\cos^2\frac{x + 1}{x} }\cdot\left(1+\dfrac{1}{x} \right)'=$

$=\dfrac{1}{\cos^2\frac{x + 1}{x} }\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2} \right)'=\boxed{-\dfrac{1}{x^2\cos^2\frac{x + 1}{x} }}$