Question

Помогите пж!!! Найти решение уравнения, удовлетворяющие начальным условиям
(решить задачу Коши)

Answer 1

Ответ:

а) y(x) = -cos(x) +1

б)  $\displaystyle \boldsymbol {y(x) = \frac{2^x}{ln(2)} -\frac{2^{-x}}{ln(2) }}$

в)     $\displaystyle \boldsymbol { y(x) = \frac{3}{2} sin(x)+sin(4x) +1}$

Пошаговое объяснение:

Все примеры решаем путем интегрирования обеих частей уравнений.

a)

y' = sin(x)         y(0)=0

$\displaystyle y(x) = \int {sin(x)} \, dx =-cos(x) +C_1$

Теперь воспользуемся начальными условиями

y(0) = -cos(0) + C₁  

0 = -1 + C₁          C₁ = 1

y(x) = -cos(x) +1

б)

$\displaystyle y'(x) = 2^x+2^{-x}\qquad \qquad y(0)=0\\\\\\y(x) = \int {2^x} \, dx + \int {2^{-x}} \, dx = \frac{2^x}{ln(2)} -\frac{2^{-x}}{ln(2)} +C_2$

Используем начальные условия

$\displaystyle y(0) = \frac{2^0}{ln(2)} -\frac{2^{-0}}{ln(2) } +C_2 = 0\quad \Rightarrow \quad C_2=0$

Тогда ответ

$\displaystyle y(x) = \frac{2^x}{ln(2)} -\frac{2^{-x}}{ln(2) }$

в)

y'(x) = 3cos(2x) +4cos(4x);     $\Larg \boldsymbol {y(\pi ) =1}$

$\displaystyle y(x) = \int {3cos(2x)} \, dx +\int4cos(4 ){x} \, dx =\frac{3}{2} sin(2x)+sin(4x)+C_3$

Используем начальные условия

$\displaystyle y(0) = \frac{3}{2} *0\;+\;4*0\;+C_3=1\qquad \Rightarrow C_3=1$

Получаем ответ

$\displaystyle y(x) = \frac{3}{2} sin(x)+sin(4x) +1$

#SPJ1