Question

Розв'язати рівняння: (x-3)(x-2)(x+4)(x+6)=10x^2 кожну дію записати.

Даю 20 балів

Answer 1

Ответ:

$x_ 1 = 4 ~~ ; ~~ x_2 = -3 ~~ ; ~~ x_3 = -3 +\sqrt{21} ~~ ; ~~ x _4 = -3 - \sqrt{21}$

Объяснение:

I способ

$(x-3)(x-2)(x+4)(x+6) = 10x^2 \\\\ \Big((x-3)(x+4)\Big)\cdot \Big((x-2)(x+6) \Big) = 10x^2 \\\\ (x^2 +x -12)(x^2+4x-12) = 10x^2$

Разделим на   x² ( x = 0 не является корнем уравнения )

$\displaystyle \frac{ (x^2 +x - 12)(x^2+4x-12) }{x^2} = 10 \\\\\\ \frac{x^2 +x -12}{x} \cdot \frac{x^2+4x-12}{x} = 10 \\\\\\ \bigg(x -\frac{12}{x} +1 \bigg) \bigg(x -\frac{12}{x} +4 \bigg) =10$

Сделаем замену

$t = x-\dfrac{12}{x}$

$(t +1)(t+4) = 10 \\\\ t^2 +5t - 6 = 0 \\\\ D = 25 + 24 = 49 \\\\ t _1 =\cfrac{-5+7}{2}=1 \\\\\\ t _2 =\cfrac{-5-7}{2}=-6$


Выйдет что

$\left [ \begin{array}{l} t =1 \\\\ t = -6 \end{array} \right. ~~ \left [ \begin{array}{l} x -\dfrac{12}{x} = 1 \\\\ x -\dfrac{12}{x} = -6 \end{array}~~\left [ \begin{array}{l} x^2 -x -12 =0 \\\\ x^2 +6x -12 =0 \end{array} \right.$

1.

$x^2 -x -12 =0 \\\\ \left \{ \begin{array}{l}x_1 + x_2 = 1 \\\\ x_1\cdot x_2 =-12 \end{array} \Leftrightarrow x_1 = 4 ~ ; ~ x_2 = -3$

2.
$x^2 + 6x -12 =0 \\\\ D= 36 + 48 =84 \\\\ x_3 = \cfrac{-6 +2\sqrt{21} }{2}= -3 +\sqrt{21} \\\\\\\ x_4 = \cfrac{-6 -2\sqrt{21} }{2}=-3 -\sqrt{21}$

II способ

Упростим данное уравнение

$(x -3)(x-2) (x+ 4) (x+ 6) = 10x^2 \\\\ (x^2 - 5 x + 6 )(x^2 + 10x + 24) = 10x^2 \\\\ x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 10x^3 - 50x^2 + 60x + 24x^2 -120x + 144 = 10x^2 \\\\ x^4 + 10x^3 - 5x^3 + 24x^2 + 6x^2 -50x^2 +60x- 120x +144 = 10x^2 \\\\ x^4 + 5x^3 -20x^2 -60x +144 = 10x^2 \\\\x^4 + 5x^3 - 30x^2 - 60x + 144$

Смотрим на делители числа 144

$144 = 12^2 = 3^2 \cdot 2^2$

Делители числа 144 также могут быть отрицательными

И пытаемся подобрать корни

Подставим  x = 3

$P(3) = 3^4 + 3^3 \cdot 5 - 30 \cdot 3^2 - 60 \cdot 3 + 144 = \\\\ 81 +135 - 270 -180 +144 = 360 - 450 = -90 ~~ \varnothing$

Не подходит

Подставим  x = 4

$P(4 ) = 4^4 + 5 \cdot 4^3 - 30 \cdot 4^2 - 60 \cdot 4 + 144 = \\\\256 + 320 - 480 -240 + 144 = 720 - 720 = 0 ~~ \checkmark$

Далее  с помощью схемы Горнера упрощаем данное уравнение до кубического

Выписываем коэффициенты данного уравнения  

$x^4 + 5x^3 - 30x^2 - 60x + 144 =0$


$\large \begin{array} {c|c|c|c|c|c|} \bold 4 & \stackrel{\pmb{x^4}}{1} & \stackrel{\pmb{x^3}}{5} & \stackrel{\pmb{x^2}}{-30} & \stackrel{\pmb{x}}{-60} & \stackrel{\pmb 1}{144} \cline{7 - 12} & & 4&36&24& 144 \cline {7-12} & & \bf9&\bf 6&\bf -36&0&\cline {7-12} \end{array}$


Выйдет что

$x^4 + 5x^3 - 30x^2 - 60x + 144 = ( x - 4)(x^ 3 +9x^2 +6x -36 )$

Методом перебора можно найти корень  

x  = -3  

$-3^3 + 9 \cdot (-3)^2 +6 \cdot (-3) - 36 = -27 + 81 -18 - 36 = 81 - 81 = 0$

Снова используем схему Горнера

$x^ 3 +9x^2 +6x -36 =0$

$\large \begin{array} {c|c|c|c|c|c|} \bold {-3} & \stackrel{\pmb{x^3}}{1} & \stackrel{\pmb{x^2}}{9} & \stackrel{\pmb{x}}{6} & \stackrel{\pmb{1}}{-36} & \cline{7 - 12} & & -3&-18&36& \cline {7-12} & & \bf6&\bf -12&\bf 0&\cline {7-12} \end{array}$

Выйдет что

$P(x) = (x-4)(x+3)(x^2+6x -12)$

Остается решить квадратное уравнение

$x^2 + 6x -12 = 0 \\\\ D = 36 + 48 = 84 \\\\ x_{1,2} = \dfrac{-6 \pm 2\sqrt{21} }{2} = -3 \pm \sqrt{21}$

В итоге уравнение    (x-3)(x-2)(x+4)(x+6)=10x² имеет 4 действительных корня

#SPJ1