Question

В треугольнике АВС с площадью 4 и стороной ВС длины 1 размешен квадрат так, что одна из его сторон лежит на стороне ВС, а вершины расположены на сторонах треугольника. Найти площадь квадрата.

Answer 1

Ответ:

$S_{KLNM} =\frac{64}{81}$

Объяснение:

Если площадь треугольника с единичной стороной равна 4,

$S = \dfrac{1}{2}ah; \: a = 1 \: {= > }\: \: S = \dfrac{h}{2}$

Значит, высота, опущенная на эту единичную сторону, равна

$h = \dfrac{2S }{a};\, S=4; \, a=1\:{=>}\; \: h = \frac{2 \cdot4}{1} = 8$

Обозначим высоту как АD = 8, с учетом ВС = 1:

AD = 8; BC = 1 => AD = 8BC

Пусть, в треугольник вписан квадрат KLNM,

$K,L \in BC; \: \: M \in AB; \: \: N \in AC$

Примем его сторону за х

Очевидно, что MN || BC => ∆AMN ~ ∆ABC,

Т.к. MN - сторона квадрата, MN = x

Рассмотрим высоту AD, которая пересекает MN в т. Е:

AD =8;\; AD \cap MN = E.

∆AMN ~ ∆ABC => AE = 8•MN = 8x.

Но т.к. KLNM - квадрат, AD_|_KL =>...

то длина отсеченного от высоты AD отрезка ED равна стороне этого квадрата, т.е. х

...=> ED = MK = NL = х

Значит, если АЕ = 8х; ЕD = x =>

=> AD = AE + ED = 8x + x = 9x.

AD = 9x

А нам известно, что AD = 8

Следовательно, можно вычислить значение х:

$AD = 8; AD = 9x \: \: => \\ = > \: 9x = 8 \: \: = > \: \: x = \frac{8}{9}$

А т.к. х - это сторона квадрата KLNM, то площадь этого квадрата будет равна:

$S_{KLNM} = {x}^{2} = { \bigg( \frac{8}{9} \bigg) }^{2} =\frac{64}{81}$

Это и будет ответом:

$S_{KLNM} =\frac{64}{81}$