Задані координати вершин піраміди авсд. потрібно:1) записати вектори ab, ac i ad в системі орт i , j, k ; 2) знайтидовжину ребра ав; 3) величину кута вас; 4) площу грані авс;5) об’єм піраміди авсд; 6) висоту піраміди, яка проведена звершини д на основу авс.кординати . а(2;4;1); в(1;3;6); с(5;3;1); d(24;20;6).
Ответы
Задані координати вершин піраміди ABCD, потрібно:
1) записати вектори AB, AC i AD в системі орт i , j, k ;
A(2;4;1); B1;3;6); C(5;3;1); D(24;20;6).
Находим векторы:
АB = (1-2; 3-4; 6-1) = (-1; -1; 5) = -1i - 1j + 5k.
BC = (5-1; 3-3; 1-6) = (4; 0; -5) = 4i + 0j - 5k.
АC = (5-2; 3-4; 1-1) = (3; -1; 0) = 3i - 1j + 0k.
2) знайти довжину ребра AB;
|AB| = √((-1)² +(-1)² + 5²) = √(1 + 1 + 25) = √27.
3) величину кута BAC;
Находим модуль вектора АС.
|AС| = √(3² + (-1)² + 0²) = √(9 + 1 + 0) = √10 .
Косинус угла ВАС равен:
cos(BAC) = (-1*3 + (-1)*(-1) + 5*0)/( √27*√ 10) = -2/√270 ≈ -0,121716.
Угол равен 1,692815 радиан или 96,9912 градуса.
4) площу грані ABC;
Площадь равна половине модуля векторного произведения АB на АC.
ABxAC =
i j k| i j
-1 -1 5| -1 -1
3 -1 0| 3 -1 = 0i + 15j + 1k -0j + 5i + 3k = 5i + 15j + 4k.
S = (1/2)√(5² + 15² + 4²) = (1/2)√(25 + 225 + 16) = (1/2)√266 ≈ 8,154753 кв.ед.
5) об’єм піраміди ABCD;
Объем пирамиды V = (1/6)*[ABxAC]*AD.
Вектор АD = (24-2; 20-4; 6-1) = (22; 16; 5)
V = (1/6)* (5; 15; 4)*(22; 16; 5) = (1/6)*(110 +240 + 20) = 370/6 = 185/3 ≈ 61,6667 куб. ед.
6) висоту піраміди, яка проведена з вершини D на основу ABC.
H = 3V/S(ABC) = 3*(185/3)/((1/2)√266) = 370/√266 ≈ 22,686156.