Сколько четырехзначных чисел, которые делятся на 9, можно сложить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7, если цифры в числах не повторяются?
Ответы
Ответ:
168
Решение:
Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9.
Для начала, надо выбрать из данных цифр четыре, сумма которых делится на 9. Это следующие комбинации:
1) 0+1+3+5 = 9 Цифры: 0,1,3,5
2) 0+2+3+4 = 9 Цифры: 0,2,3,4
3) 0+1+2+6 = 9 Цифры: 0,1,2,6
4) 0+5+6+7 = 18 Цифры: 0,5,6,7
5) 1+4+6+7 = 18 Цифры: 1,4,6,7
6) 2+3+6+7 = 18 Цифры: 2,3,6,7
7) 2+4+5+7 = 18 Цифры: 2,4,5,7
8) 3+4+5+6 = 18 Цифры: 3,4,5,6
Первые 4 комбинации цифр с нулём дадут нам количество четырёхзначных чисел равное 18*4 = 72
Обоснование: Составляем четырёхзначные числа из цифр 0, 1, 3, 5 без повторения цифр в числе. На место тысяч ставим любую цифру, кроме нуля - 3 варианта, на место сотен - любую из оставшихся трёх цифр - 3 варианта, на место десятков - любую из оставшихся двух цифр - 2 варианта, на место единиц - последнюю оставшуюся цифру - 1 вариант. Количество вариантов перемножаем, получаем 3*3*2*1 = 18 таких чисел
Последние 4 комбинации дадут нам количество четырёхзначных чисел равное 4*4! = 4*4*3*2*1 = 96
Обоснование: Составляем четырёхзначные числа из цифр 1, 4, 6, 7 без повторения цифр в числе. Количество таких чисел равно числу перестановок из 4-х цифр, т.е. 4!=4*3*2*1= 24
Итого, общее количество четырёхзначных чисел равно 72+96 = 168