Question

Решить уравнение cos(пи+х)+sin((пи+х)/2)=1
Найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (3пи; 9пи/2]

Answer 1

Формулы приведения:

$\cos(\pi +\alpha )=-\cos\alpha$

$\sin\left(\dfrac{\pi }{2}+\alpha \right) =\cos \alpha$

Формула косинуса двойного угла:

$\cos2\alpha =2\cos^2\alpha -1$

Рассмотрим уравнение:

$\cos(\pi +x)+\sin\dfrac{\pi +x}{2} =1$

$\cos(\pi +x)+\sin\left(\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{x}{2} \right) =1$

Воспользовавшись формулами приведения, получим:

$-\cos x+\cos\dfrac{x}{2} =1$

Воспользовавшись формулой косинуса двойного угла, получим:

$-\left(2\cos^2\dfrac{x}{2}-1\right)+\cos\dfrac{x}{2} =1$

$-2\cos^2\dfrac{x}{2}+1+\cos\dfrac{x}{2} -1=0$

$-2\cos^2\dfrac{x}{2}+\cos\dfrac{x}{2}=0$

$-\cos\dfrac{x}{2}\left(2\cos\dfrac{x}{2}-1\right)=0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Решаем первое уравнение:

$\cos\dfrac{x}{2}=0\Rightarrow \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi }{2}+\pi n\Rightarrow \boxed{x_1=\pi +2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

Решаем второе уравнение:

$2\cos\dfrac{x}{2}-1=0\Rightarrow \cos\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{x}{2}=\pm\dfrac{\pi }{3}+2\pi n\Rightarrow \boxed{x_{23}=\pm\dfrac{2\pi }{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

Выполним отбор корней на полуинтервале $\left(3\pi ;\ \dfrac{9\pi }{2} \right]$.

Рассмотрим первую серию корней:

$3\pi < \pi +2\pi n\leqslant\dfrac{9\pi }{2}$

$3 < 1 +2 n\leqslant\dfrac{9 }{2}$

$3-1 < 2 n\leqslant\dfrac{9 }{2}-1$

$2 < 2 n\leqslant\dfrac{7 }{2}$

$1 < n\leqslant\dfrac{7 }{4}$

Целых чисел, удовлетворяющих полученному двойному неравенству, нет. Значит, первая серия не дает корней на заданном промежутке.

Рассмотрим вторую серию корней:

$3\pi < \dfrac{2\pi }{3} +4\pi n\leqslant\dfrac{9\pi }{2}$

$3 < \dfrac{2 }{3} +4 n\leqslant\dfrac{9 }{2}$

$3-\dfrac{2 }{3} < 4 n\leqslant\dfrac{9 }{2}-\dfrac{2 }{3}$

$\dfrac{9}{3} -\dfrac{2 }{3} < 4 n\leqslant\dfrac{27 }{6}-\dfrac{4 }{6}$

$\dfrac{7}{3} < 4 n\leqslant\dfrac{23 }{6}$

$\dfrac{7}{12} < n\leqslant\dfrac{23 }{24}$

Целых чисел, удовлетворяющих полученному двойному неравенству, нет. Значит, вторая серия не дает корней на заданном промежутке.

Рассмотрим третью серию корней:

$3\pi < - \dfrac{2\pi }{3} +4\pi n\leqslant\dfrac{9\pi }{2}$

$3 < -\dfrac{2 }{3} +4 n\leqslant\dfrac{9 }{2}$

$3+\dfrac{2 }{3} < 4 n\leqslant\dfrac{9 }{2}+\dfrac{2 }{3}$

$\dfrac{9}{3} +\dfrac{2 }{3} < 4 n\leqslant\dfrac{27 }{6}+\dfrac{4 }{6}$

$\dfrac{11}{3} < 4 n\leqslant\dfrac{31}{6}$

$\dfrac{11}{12} < n\leqslant\dfrac{31}{24}$

Единственное целое число, удовлетворяющее полученному двойному неравенству, - это число 1.

При $n=1$:

$x=- \dfrac{2\pi }{3} +4\pi\cdot 1=4\pi- \dfrac{2\pi }{3} =\dfrac{12\pi }{3} - \dfrac{2\pi }{3} =\boxed{\dfrac{10\pi }{3}}$

Ответ: общее решение: $\pi +2\pi n;\ \pm\dfrac{2\pi }{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$;

корень на заданном промежутке: $\dfrac{10\pi }{3}$