Question

cosx-cos3x=0
...........................

Answer 1

Формула разности косинусов:

$\cos\alpha -\cos\beta =-2\sin\dfrac{\alpha +\beta }{2} \sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}$

Рассмотрим уравнение:

$\cos x-\cos3x=0$

$-2\sin\dfrac{x+3x}{2} \sin\dfrac{x-3x}{2} =0$

$-2\sin2x\sin(-x)=0$

$2\sin2x\sin x=0$

$\sin2x\sin x=0$

Произведение равно нулю когда один из множителей равен нулю.

Получим два уравнения:

$\sin2x=0\Rightarrow 2x=\pi n\Rightarrow x_1=\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

$\sin x=0\Rightarrow x_2=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Так как вторая серия решений уже содержится в первой, то ответ можно записать в виде:

$x=\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$