Question

СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЕ!!!!!!!!!!!!!
Задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение,
которое удовлетворяет приведенным начальным условиям.
y" + 4y = 3cos x, y(0) = 1, y'(0) = 2.
СРОЧНО ПРОШУ!!!!!!!!!!!

Answer 1

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:

y''+4y=0

Составляем характеристическое уравнение:

k2+4=0

k1,2=± 2i – корни комплексные

α=0

β=2

Общее решение однородного имеет вид:

yодн.=eαх·(С1·cosβx+C2·sinβx))

В данном случае

yодн.=e0·х·(С1·cos2x+C2·sin2x)

yодн.=С1·cos2x+C2·sin2x

Находим общее решение неоднородного уравнение

y=yодн+участ

Так как правая часть содержит 3cosx

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:

yчаст=Acosx+Bsinx

Находим производную первого, второго порядка

y`част=–Asinx+Bcosx

y``част=–Acosx–Bsinx

подставляем в данное уравнение:

–Acosx–Bsinx+4·(Acosx+Bsinx)=3cosx

3Acosx+3Bsinx=3cosx

A=1

B=0

О т в е т.

y=yодн+yчаст