Question

знайдіть у якій точці графіка функції f(x)=√3(x^3-2) дотична нахилена до осі абсцис під кутом a=pi/3

Answer 1

Ответ:

Точки графика, в которых касательная наклонена к оси абсцисс под углом π/3:

$\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}};\; \: \dfrac{1}{3}-2\sqrt{3}\right)$  

$\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}};\; \: -\dfrac{1}{3}-2\sqrt{3}\right)$

Объяснение:

Найти точку графика функции, в которой касательная наклонена к оси абсцисс под углом α.

$f(x)=\sqrt{3}(x^3-2)$

$\alpha =\dfrac{\pi }{3}$

• Тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке х₀, равен значению производной функции в этой точке.

Найдем производную:

$f'(x)=\sqrt{3}(3x^2)=3\sqrt{3}x^2$

$f'(x_0)=3\sqrt{3}x_{0}^2$

$tg\; \dfrac{\pi }{3}=\sqrt{3}$

$tg\alpha =f'(x_0)$

$\sqrt{3}=3\sqrt{3}x_{0}^2$

$x_0^2=\dfrac{1}{3}$

$x_0=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

или

$x_0=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{(\sqrt{3})^3}-2\right)=\dfrac{1}{3}-2\sqrt{3}$

$f\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\sqrt{3}\left(-\dfrac{1}{(\sqrt{3})^3}-2\right)=-\dfrac{1}{3}-2\sqrt{3}$

Точки графика, в которых касательная наклонена к оси абсцисс под углом π/3:

$\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}};\; \: \dfrac{1}{3}-2\sqrt{3}\right)$  

$\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}};\; \: -\dfrac{1}{3}-2\sqrt{3}\right)$