Question

найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:
f(x)=x* корень(12-x)

Answer 1

Ответ:

Промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

Функция возрастает на промежутке: х ∈ (-∞; 8];

Функция убывает на промежутке: х ∈ [8; 12)

x max = 8

Объяснение:

Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

$\displaystyle f(x)=x\cdot{\sqrt{12-x} }$

Найдем область определения данной функции:

• Подкоренное выражение неотрицательно.

⇒ 12 - х ≥ 0

x ≤ 12

D(y): x ∈ (-∞; 12]

Найдем производную. Приравняем к нулю и найдем корни.

$\displaystyle f'(x) = (x)'\cdot\sqrt{12-x}+x\cdot{(\sqrt{12-x} } )'=\\\\=1\cdot\sqrt{12-x} +x\cdot\frac{1}{2}\cdot(12-x)^{-\frac{1}{2} }\cdot(-1)=\\ \\=\sqrt{12-x}-\frac{x}{2\sqrt{12-x} } =\\ \\=\frac{2(12-x)-x}{2\sqrt{12-x} } =\frac{24-3x}{2\sqrt{12-x} }$

• Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

х ≠ 12

3(8 - х) = 0

х = 8

Отметим данные точки на числовой оси.

Определим знаки производной на промежутках.

• Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна, функция убывает.

См. рисунок.

Функция возрастает на промежутке: х ∈ (-∞; 8];

Функция убывает на промежутке: х ∈ [8; 12)

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум.

⇒ x max = 8

#SPJ1