Question

SABC - пирамида. SA перпендикулярно (АВС) , SA = 3√3 см, ВС = 12 см, двугранный угол при ребре ВС равен 45° . Выполнив рисунок, вычислите объем пирамиды.
​

Answer 1

Ответ:

Объем пирамиды SABC равен 54 см³.

Объяснение:

SABC - пирамида. Ребро SA перпендикулярно плоскости треугольника АВС, SA = 3√3 см, ВС = 12 см, двугранный угол при ребре ВС равен 45°. Выполнить рисунок, вычислить объем пирамиды.

​

Дано:

SABC - пирамида;

SA ⊥ ΔABC;

SA = 3√3 см;
ВС = 12 см;

∠SKA = 45°.

Найти: V(SABC).

Решение.

• Объем пирамиды равен 1/3 произведения площади основания на ее высоту:
  $\displaystyle V = \frac{1}{3} SH.$

Чтобы найти объем пирамиды, нам нужно найти площадь ее основания. Высота пирамиды равна длине ребра SA, так как по условию SA ⊥ ΔABC.

• По теореме о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции.
• Проекция наклонной - это отрезок, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра, проведенных из одной точки.
• Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

1) Проведем отрезок SK ⊥ BC.

Cоединим точки A и K.

SA ⊥ ΔABC ⇒ SA ⊥ AK;

SA - проекция наклонной SK;

BC ⊥ SK по построению;
BC ⊥ AK по теореме о трех перпендикулярах.

• Градусная мера двугранного угла равна градусной мере соответствующего линейного угла.
• Угол, образованный лучами, перпендикулярными к ребру, называется линейным углом двугранного угла.

∠SKA = 45° является линейным углом двугранного угла с ребром BC.

2) Рассмотрим ΔSAK.

ΔSAK прямоугольный, ∠SAK = 90° (из условия SA ⊥ ΔABC ).

∠SKA = 45°, тогда ∠KSA = 45°.

⇒ ΔSAK  равнобедренный, ⇒ AK = SK = 3√3 см.

3) Рассмотрим ΔABC.

AK ⊥ BC (п.1)

Тогда AK - высота треугольника, проведенная к стороне ВС.

• Площадь треугольника равна половине произведения высоты на сторону, к которой проведена эта высота.

$\displaystyle S(\Delta ABC) = \frac{1}{2} AK \cdot BC;\\\\S(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 12 =18\sqrt{3} \;(CM^{2}).$

Площадь основания пирамиды равна 18√3 см².

4) Найдем объем пирамиды.

$\displaystyle V = \frac{1}{3} SH = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt{3 } \cdot 3\sqrt{3} = 18\cdot 3 = 54$ (см³).

Объем пирамиды SABC равен 54 см³.

#SPJ1