Question

1.Решить уравнение: 2cos^2x-sinx-1=0. 2.Докажите,что функция у=(2х+5)^10 удовлетворяет соотношению 8000у(2х+5)^17-(у')^3=0. 3.Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии,у которой каждый член в 6 раз больше суммы всех её последующих членов.

Answer 1

$tt 1.~~2cos^2x-sin x-1=0\ 2(1-sin^2x)-sin x-1=0\ 2-2sin^2x-sin x-1=0\ 2sin^2x+sin x-1=0$

Решим это уравнение как квадратное уравнение относительно sinx

$tt D=b^2-4ac=1^2-4cdot2cdot(-1)=1+8=9\ \ sin x=dfrac{-1+3}{2cdot2}=0.5~~~Rightarrow~~~ boxed{tt x=(-1)^kcdotfrac{pi}{6}+pi k,k in mathbb{Z}} \ \ sin x=dfrac{-1-3}{2cdot2}=-1~~~Rightarrow~~~boxed{tt x=-frac{pi}{2}+2pi k,k in mathbb{Z}}$

2. Производная функции: $tt y'=10(2x+5)^9cdot(2x+5)'=10(2x+5)^9cdot2=20(2x+5)^9$

$tt 8000y(2x+5)^{17}-(y')^3=8000(2x+5)^{10}(2x+5)^{17}-(20(2x+5)^{9})^3=\ \ =8000(2x+5)^{17}-8000(2x+5)^{27}=0$

Что и нужно было доказать.

3.

$tt frac{b_1}{q}$ - предыдущий член суммы последующих членов

$tt S_1$ - сумма всех последующих членов г.п.

$tt S$ - сумма бесконечно убывающей геом. прогрессии

$tt S_1=6S~~~Rightarrow~~~ dfrac{b_1}{q} =6cdot dfrac{b_1}{1-q} \ \ 1-q=6q\ \ 7q=1\ \ q=dfrac{1}{7}$

Ответ: 1/7.