В группе из 7 человек любые двое имеют общего знакомого. Докажите, что из этой группы можно не менее, чем 9 способами выбрать пару знакомых школьников. Даю100 баллов
Ответы
Ответ:
Представим учеников, как вершины графа, а их знакомства, как рёбра. По условию, в данном графе 25 вершин и любые две вершины соединены рёбрами с общей вершиной.
Докажем от противного. Пусть в графе не больше 35 рёбер. Допустим, что найдётся вершина степени 1, тогда рассмотрим её и вершину, соединённую с ней ребром. Они не имеют "общей вершины", так как та, которая имеет степень 1, не соединена больше ни с одной вершиной. Если найдётся вершина степени 0, условие не выполняется для неё точно. Допустим, что в графе не найдётся вершины степени 2, тогда степень каждой вершины не меньше 3, а суммарная степень вершин не меньше 75. Но тогда в графе не меньше 38 рёбер. Значит, найдётся вершина степени 2. Рассмотрим её. Она соединена с двумя вершинами (2 ребра). Каждая из остальных 22 вершин должна иметь "общую вершину" с этой, значит, каждая из оставшихся вершин соединена ребром с одной из этих двух (ещё 22 ребра) (это для того, чтобы "вершина степени 2" имела "общую вершину" с каждой из остальных). Рассмотрим "эти две вершины", они должны иметь "общую вершину" с каждой из тех, с которыми соединены, значит, должны быть соединены и между собой (ещё одно ребро) (чтобы "вершина степени 2" и каждая из "этих двух вершин" имела "общую вершину"). Так как степень остальных вершин должна быть не меньше 2, то нужно ещё не менее 11 рёбер. Итого в графе не менее 36 рёбер, что больше 35.
Эти 36 рёбер и есть искомые 36 способов выбрать пару знакомых школьников.