Question

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 8; AC = 10; BC = 11. Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон AB, AC и BC в точках D, E и F соответственно. Вневписанная окружность касается продолжений сторон BC и AB и стороны AC в точках P, Q и R соответственно.
Найдите длины отрезков BD, CP и ER.

Answer 1

Ответ:

Так как точки касания сторон треугольника с вневписанными окружностями симметричны их точкам касания с вписанной окружностью относительно середин сторон, CA1 = p - b , CB1 = p - a , AB1 = BA1 = p - c . Применив теорему Менелая к треугольнику ACA1 и прямой BB1 , получаем, что A1N=AA1 = (p - a)=p . Гомотетия с этим коэффициентом и центром A переведет точку A1 в точку P . Но отношение радиусов вписанной и вневписанной окружностей треугольника тоже равно (p - a)=p , значит образ A1 при этой гомотетии лежит на вписанной окружности.