Question

Докажите, что функция f(х) = –х3/3 + х2/2 – 2х + 12 убывает на множестве действительных чисел.​

Answer 1

Ответ:

Так как производная отрицательна при любом значении х, то функция убывает на множестве действительных чисел.​

Объяснение:

Докажите, что функция f(х) = –х³/3 + х²/2 – 2х + 12 убывает на множестве действительных чисел.​

Найдем производную.

• Если на промежутке производная отрицательна, то функция убывает, если положительна, то функция возрастает.

$\displaystyle y=-\frac{x^3}{3} +\frac{x^2}{2}-2x+12\\ \\\boxed {(x^n)'=nx^{n-1}}\\\\y'=-\frac{3x^2}{3} +\frac{2x}{2} -2=-x^2+x-2=-(x^2-x+2)$

Выделим полный квадрат:

$\displaystyle y'=-\left(\left(x^2-2\cdot\frac{1}{2}\cdot{x }+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}+2\right)=\\ \\ =-\left(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 +1\frac{3}{4}\right )$

Рассмотрим выражение в скобках.

$\Rightarrow \displaystyle \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 \geq 0\\\\\Rightarrow \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+1\frac{3}{4} > 0$

То есть, выражение в скобках положительно.

Так как перед ним стоит знак минус, то y' < 0.

Так как производная отрицательна при любом значении х, то функция убывает на множестве действительных чисел.​

#SPJ1