Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

а) $\boxed{\boldsymbol{ \displaystyle \int\limits_{L} {2xy} \, dx +{x^{2} } \, dy = -4}}$

б) $\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits_{L} {xy} \, dx = \pi } }$

Примечание:

Криволинейный интеграл второго рода по кривой $L$ имеет вид в общем виде:

$\boxed{ \displaystyle \boldsymbol{ \int\limits_{L} {P(x,y)} \, dx +{Q(x,y)} \, dy } }$ - криволинейный интеграл 2 рода

Если кривая L задана уравнением y = y(x) , x ∈ [a;b], где

y = y(x) и ее производная y'(x) непрерывна на отрезке [a;b], то:

$\boxed{ \displaystyle \boldsymbol{ \int\limits_{L} {P(x,y)} \, dx +{Q(x,y)} \, dy = \int\limits^a_b { \bigg ( P(x,y(x)) + Q(x,y(x))y'(x) \bigg ) } \, dx} }$

Объяснение:

а)

$\displaystyle \int\limits_{L} {2xy} \, dx +{x^{2} } \, dy = -4$

Где $L$ - отрезок $AB, \ A(2;1), B(2;0)$

Так как $x_{A} = x_{B} = 2$, то уравнение прямой есть прямая $x = 2$, то есть кривая $L$ задается прямой:

$L:x = 2; x = const \Longrightarrow dx = 0$

$\displaystyle \int\limits_{L} {2xy} \, dx +{x^{2} } \, dy =\int\limits_{L} {2xy} \cdot 0 +{x^{2} } \, dy = \int\limits_{1}^{0} {2^{2} } \, dy = 4 \cdot y \bigg|_{1}^{0} = 4(0 - 1) = -4$

б)

$\displaystyle \int\limits_{L} {xy} \, dx = \pi$

Где $L$ - дуга синусоиды $y = \sin x$ от $(0;0)$ до $(\pi;0)$

$L: y = \sin x; x \in [0;\pi ]$

$\displaystyle \int\limits_{L} {xy} \, dx = \int\limits^{\pi}_{0} {x \sin x} \, dx =$

-------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям:

$\boxed{ \displaystyle \int\limits {u} \, dv = uv - \int\limits {v} \, du}$

$u = x \Longrightarrow du =dx$

$\displaystyle dv = \sin x \ dx \Longrightarrow v = \int {\sin x} \, dx = - \cos x$

----------------------------------------------------------------

$\displaystyle = -x \cos x - \int\limits^{\pi}_{0} {-\cos x} \, dx =\int\limits^{\pi}_{0} {\cos x} \, dx -x \cos x = \bigg( \sin x - x \cos x \bigg)\bigg|_{0}^{\pi} =$

$= \bigg( \sin \pi - \pi \cos \pi \bigg) - \bigg( \sin 0 - 0\cos 0 \bigg) = \bigg( 0 + \pi \ \bigg) - \bigg( 0 - 0 \bigg)= \pi$