Дослідіть функцію f(x) = x ^ 4 - 10x ^ 2 + 9 і побудуйте її графік
Ответы
Ответ:
) Исследуем функцию по общему виду.
а) Область определения: x∈R
б) Вертикальных асимптот нет, функция везде определена.
в) Пересечение с осями.
с Ох:
y=0
x⁴ -10x₂ +9 =0
Замена: x² = t
t² - 10t +9 =0
t₁+t₂ = 10
t₁*t₂ = 9
t₁ = 9
t₂ = 1
x₁₂ = √9 = +-3
x₃₄ = √1 = +-1
Пересечение Oy:
x=0
y(0) = 0⁴ + 10*0² + 9= 9
г) Функция четная
д) Асимптоты наклонные:
y = kx+b
k = ∞
Наклонных асимптот нет
2) Исследуем функцию с помощью первой производной.
y' = (x⁴ -10x² +9)' = 4x³ -20x
Приравняем производную к нулю:
4x³ -20x = 0
4x(x² - 5) = 0
x = 0 или x =+-√5
Посмотрим как ведет себя функция на этих отрезках.(см. №1)
x = +-√5 - точка минимума, ymin = -16
x = 0 - точка максимума y max = 9
3) Исследуем функцию с помощью второй производной.
y'' = 12x² - 20
Приравняем к 0
12x²-20 = 0
x = +-√20/12
Функция знак не меняет - значит точек перегиба нет.
4) Сам график.
см №2
