Question

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями:

Answer 1

Ответ:

$1) ~ \cfrac{1}{6} \\\\ 2) ~ \cfrac{1}{2}$

Объяснение:

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями:

$\displaystyle 1) ~ y = \frac{1}{(x+1)^2} ~~ , ~~ y = 0 ~~ , ~~ x=1 ,~~ x = 2$

Находим определенный интеграл

$\displaystyle \int\limits^2_1 {\frac{1}{(x+1)^2} } \, dx = \int\limits^2_1 {(x+1)^{-2}} \, d(x+1) = \frac{(x+1)^{-2+1}}{-2+1} ~\Bigg |^2_1 = -\frac{1}{x+1} \bigg | ^2_1 = \\\\\\\\ -\frac{1}{3} +\frac{1}{2} = \frac{1}{6}$


$\displaystyle 1) ~ y = \frac{1}{(x-1)^2} ~~ , ~~ y = 0 ~~ , ~~ x=-1 ,~~ x = 0$

Аналогично

$\displaystyle \int\limits^0_{-1} {\frac{1}{(x-1)^2} } \, dx = \int\limits^0_{-1} {(x-1)^{-2}} \, d(x-1) = \frac{(x-1)^{-2+1}}{-2+1} ~\Bigg |^0_{-1} = -\frac{1}{x-1} \bigg | ^0_{-1}= \\\\\\\\ 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$