Дан прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ABC=90∘, а ∠BAC=27∘. Точка M — середина стороны AC, точки K и L на прямых AB и BC соответственно таковы, что KA=KM и LC=LM. Найдите величину угла ∠KLC, ответ дайте в градусах.
Ответы
Ответ:
Величина угла ∠KLC равна 81°
Примечание:
Формула приведения:
sin α = cos(90° - α)
Объяснение:
Дано: ∠ABC = 90°, ∠BAC = 27°, AM = MC, K ∈ AB, KA = KM, L ∈ BC,
LC = LM
Найти: ∠KLC - ?
Решение:
Рассмотрим треугольник ΔABC.
По теореме про сумму углов треугольника:
∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180° ⇒ ∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠BAC =
= 180° - 90° - 27° = 90° - 27° = 63°.
Так как по условию AM = MC, LC = LM, то соответственно по определению треугольник ΔKAM и ΔLMC - равнобедренные, тогда по свойствам равнобедренных треугольников углы при основании равны, то есть:
- ∠BAC = ∠AMK = 27°
- ∠ACB = ∠CML = 63°
Углы ∠AMK, ∠KML, ∠CML образуют развернутый угол ∠AMC (по определению градусная мера развернутого угла равна 180°).
∠AMK + ∠KML + ∠CML = 180° ⇒ ∠KML = 180° - ∠AMK - ∠CML =
= 180° - 27° - 63° = 180° - 90° = 90°.
По теореме про сумму углов треугольника (ΔMLC) :
∠CML + ∠MCL + ∠MLC = 180° ⇒ ∠MLC = 180° - ∠CML - ∠MCL =
= 180° - 63° - 63° = 180° - 126° = 54°.
Рассмотрим треугольник ΔKAM и ΔLMC.
Опустим высоты на основания треугольников в точки F и E на отрезки AM,MC соответственно (F ∈ AM, E ∈ MC).
По теореме высота равнобедренного треугольника опущенная на основание является его биссектрисой и медианой, тогда так как по построению KF,LE - высоты треугольников ΔKAM и ΔLMC, то KF,LE - медианы и биссектрисы соответствующих треугольников, следовательно AF = FM, ME = EC.
Так как по условию AM = MC, а также доказано, что AF = FM,ME = EC, следовательно AF = FM = ME = EC.
Пусть AF = a и так как AF = FM = ME = EC, то FM = ME = EC = a.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔKFM (KF - высота по построению).
По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:
cos ∠FMK = FM / MK ⇒ MK = FM / cos ∠FMK = a / cos 27°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔLEM (LE - высота по построению).
По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:
cos ∠LME = ME / ML ⇒ ML = ME / cos ∠LME = a / cos 63°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔKML (∠KML = 90°).
По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:
tg ∠MLK = MK / ML = (a / cos 27°) / (a / cos 63°) =
= (a / cos 27°) * (cos 63° / a) = cos 63° / cos 27° = cos(90 - 63°) / cos 27° =
= sin 27° / cos 27° = tg 27°.
tg ∠MLK = tg 27° ⇒ ∠MLK = 27°.
∠KLC = ∠MLK + ∠MLC = 27° + 54° = 81°.
#SPJ1
Ответ:
Величина угла KLC равна 81°.
Пошаговое объяснение:
Дан прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ABC=90∘, а ∠BAC=27∘. Точка M — середина стороны AC, точки K и L на прямых AB и BC соответственно таковы, что KA = KM и LC = LM. Найдите величину угла ∠KLC.
Дано: ΔАВС - прямоугольный;
∠ABC = 90°; ∠BAC = 27°;
АМ = МС;
К ∈ АВ; L ∈ BC;
KA = KM; LC = LM.
Найти: ∠KLC
Решение:
1. Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный;
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠С = 90° - ∠ВАС = 90° - 27° = 63°.
2. Проведем ВМ.
АМ = МС ⇒ ВМ - медиана;
- В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
⇒ ВМ = МС
3. Рассмотрим ΔМВС - равнобедренный.
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
⇒ ∠С = ∠МВС = 63°
4. ∠АВС = 90°
∠АВМ = 90° - ∠МВС = 90° - 63° = 27°
5. Рассмотрим ΔКLM.
ΔАКМ - равнобедренный (условие);
⇒ ∠ВАС = ∠КМА = 27°.
ΔМLC - равнобедренный (условие);
⇒ ∠С = ∠LMC = 63°.
⇒ ∠KML = 180° - (∠КМА + ∠LMC ) = 180° - (27° + 63°) = 90°
ΔКLM - прямоугольный.
6. Опишем окружность около ΔKLM.
Так как ΔКLM - прямоугольный.
- Прямой вписанный угол опирается на диаметр.
⇒ KL - диаметр описанной окружности.
ΔKLB - прямоугольный.
∠KBL - прямой ⇒ В ∈ Окр.О.
- Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
⇒ ∠KLM = ∠KBM = 27°
7. Рассмотрим ΔMLC - равнобедренный.
- Сумма углов треугольника равна 180°.
⇒ ∠MLC = 180° - (∠C + ∠LMC) = 180° - 126° = 54°
8. Найдем ∠KLC.
∠KLC = ∠KLM + ∠MLC = 27° + 54° = 81°
Величина угла KLC равна 81°.
#SPJ1
