Question

№10
Каждое натурального число n от 2 до 200 упорядочено записав ровно n раз: 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, …, 200, 200 Найдите число стоящее по середине этого ряда.
A 134  
B 142  
C 167  
D 1001 ​

Answer 1

Ответ: $142$

Пошаговое объяснение:

Cумма чисел от 2 до $n$ вычисляется из суммы арифметической прогрессии:

$S_{n} = \frac{(n-1)(n+2)}{2}$

Откуда количество членов данного ряда равно:

$S_{200} = \frac{199*202}{2} = 20099$

Тогда в середине ряда находится член с номером: $\frac{20099+1}{2} = 10050$

Найдем максимальное натуральное число $k$, для которого выполняется неравенство:

$S_{k} \leq 10050\\(k-1)(k+2)\leq 20100$

Поскольку левая часть монотонно возрастает при натуральном $k$, то вместо того чтобы возится с неудобным радикалами в неравенстве сделаем это подбором.

Попробуем подставить число $140$:

$139*142 = 19738 < 20100$

Пробуем $141$:

$140*143= 20020 < 20100$

Наконец если взять $142$:

$141*144 = 20304 > 20100$

То есть максимальное $k$ при котором выполняется неравенство это $k = 141$, то есть до члена с номером $20020:2 = 10010$ идут все числа от $1$ до $141$ (со всеми их повторениями), а следующими до середины идут повторения числа  $142$.