Question

Уравнение с разделяющимися переменными:
$(x+2)dx-(x^2+4x-7)dy=0$

Answer 1

$(x+2)dx-(x^2+4x-7)dy=0$

$(x+2)dx=(x^2+4x-7)dy$

$\dfrac{x+2}{x^2+4x-7} dx=dy$

$dy=\dfrac{x+2}{x^2+4x-7} dx$

Проинтегрируем обе части уравнения:

$\int dy=\int\dfrac{x+2}{x^2+4x-7} dx$

Отдельно найдем интеграл правой части:

$\int\dfrac{x+2}{x^2+4x-7} dx=\dfrac{1}{2} \int\dfrac{2(x+2)dx}{x^2+4x-7}=\dfrac{1}{2} \int\dfrac{(2x+4)dx}{x^2+4x-7} dx=$

$=\dfrac{1}{2} \int\dfrac{d(x^2+4x)}{x^2+4x-7} dx=\dfrac{1}{2} \int\dfrac{d(x^2+4x-7)}{x^2+4x-7} dx=\dfrac{1}{2} \ln|x^2+4x-7|+C$

Получим:

$\boxed{y=\dfrac{1}{2} \ln|x^2+4x-7|+C}$