Question

Допоможіть, будь ласка! Знайти число членів арифметичної прогресії, якщо a3-a1=8; a2+a4=14; Sn=104

Answer 1

Основные формулы для арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n$

Рассмотрим первое условие:

$a_3-a_1=8$

$(a_1+2d)-a_1=8$

$2d=8$

$\Rightarrow \boxed{d=4}$

Рассмотрим второе условие:

$a_2+a_4=14$

$(a_1+d)+(a_1+3d)=14$

$2a_1+4d=14$

$a_1+2d=7$

$a_1+2\cdot 4=7$

$a_1+8=7$

$\Rightarrow \boxed{a_1=-1}$

Рассмотрим третье условие:

$S_n=104$

$\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n=104$

$\dfrac{2\cdot(-1)+4(n-1)}{2} \cdot n=104$

$\dfrac{-2+4n-4}{2} \cdot n=104$

$\dfrac{4n-6}{2} \cdot n=104$

$(2n-3) \cdot n=104$

$2n^2-3n-104=0$

$D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-104)=9+832=841$

$n=\dfrac{3+\sqrt{841} }{2\cdot2} =\boxed{8}$

$n\neq \dfrac{3-\sqrt{841} }{2\cdot2} =-6.5\notin\mathbb{N}$

Ответ: 8