Question

Знайдіть найбільше і найменше значення функції на заданому проміжку
F(x)=x/8+2/x,[1,6]

Answer 1

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=(x/8)+(2/x) на промежутке [1;6].

Ответ:

max f(x)=2.125; min f(x)=1.

Объяснение:

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке:

1. Находим критические точки.

2. Вычисляем значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному промежутку и в крайних точках промежутка.

3. Выбираем наибольшее и наименьшее из них.

Найдём крит. точки:

$\Large \boldsymbol {} f(x)=\frac{x}{8} +\frac{2}{x} \\\\f'(x)=\left(\frac{x}{8} +\frac{2}{x}\right)'=(\frac{1}{8}x)'+\left(2*\frac{1}{x}\right)'=\\\\=\frac{1}{8} *1+2*(-\frac{1}{x^2})=\frac{1}{8}-\frac{2}{x^2} \\\\\frac{1}{8}-\frac{2}{x^2}=0\\\\\frac{2}{x^2}=\frac{1}{8} \\\\1*x^2=2*8\\\\x=\±\sqrt{16} \\\\x_1=-4 \notin [1,6] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:x_2=4 \in [1,6]$

Единственная критическая точка, которая принадлежит промежутку [1;6] - х=4. Найдём значения функции в этой точке и в крайних точках промежутка: f(4), f(1), f(6).

$\LARGE \boldsymbol {} f(1)=\frac{1}{8} +\frac{2}{1}=\frac{17}{8} =\boxed{2,125}\\\\f(4)=\frac{4}{8} +\frac{2}{4} =\boxed{1 } \\\\f(6)={\overset{3/}{\big{}}}\frac{6}{8} +{\overset{4/}{\big{}}}\frac{2}{6}=\frac{18}{24} +\frac{8}{24} =\boxed{\frac{26}{24} }$

Среди значений выбираем наибольшее и наименьшее:

$\Large \boldsymbol {} max \:f(x)=f(1)=2.125 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: min \:f(x)=f(4)=1\\ \ [1;6] \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:[1;6]$