Question

срочно!! решить уравнение

Answer 1

Ответ:

$x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\pi n}{3},\; \: \; \: n\in Z$        

$x=\dfrac{2\pi k}{3},\; \: \; \: k\in Z$

Объяснение:

Решить тригонометрическое уравнение:

$4\cos x \cdot \sin(30^\circ +x)\cdot \cos(60^\circ +x)=\cos^2 3x$

Представим угол (30° + х) в виде (90° - (60° - х)) и воспользуемся формулой приведения:

$\sin (90^\circ -x)=\cos x$

$4\cos x \cdot \sin(90^\circ -(60^\circ -x))\cdot \cos(60^\circ +x)=\cos^2 3x$

$4\cos x \cdot \cos(60^\circ -x)\cdot \cos(60^\circ +x)=\cos^2 3x$

Применим формулу преобразования произведения в сумму  (1):

$\cos\alpha \cdot \cos\beta=\dfrac{1}{2}\left(\cos (\alpha+\beta)+\cos(\alpha -\beta)\right)$

$4\cos x\cdot \dfrac{1}{2}(\cos 120^\circ +\cos (-2x))=cos^2 3x$

$2\cos x\cdot (-\dfrac{1}{2} +\cos 2x)=cos^2 3x$

$-\cos x+2\cos x\cdot \cos 2x=\cos^2 3x$

Применим формулу (1) еще раз:

$-\cos x+2\cdot \dfrac{1}{2}(\cos(3x)+cos(-x))=\cos^2 3x$

$-\cos x+\cos3x+cosx=\cos^2 3x$

$\cos^2 3x-\cos 3x=0$

$\cos 3x(\cos 3x-1)=0$

1) $\cos 3x = 0$

  $3x=\dfrac{\pi }{2}+\pi n$

  $x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\pi n}{3},\; \: \; \: n\in Z$

2) $\cos 3x = 1$

   $3x=2\pi k$

   $x=\dfrac{2\pi k}{3},\; \: \; \: k\in Z$