Question

Сторона правильного треугольника равна 6 корней из 3 см. Точка М равноудалена от всех прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки М на плоскость треугольника являются точка, принадлежащая этому треугольнику. Найдите расстояние от точки М до сторон треугольника, если расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 6 корней из 2см.

Answer 1

Ответ:

Расстояние от точки М до сторон треугольника равно 9 см.

Объяснение:

Требуется найти расстояние от точки М до сторон треугольника.

Дано: ΔАВС - правильный;

АВ = 6√3 см;

М ∉ плоскости ΔАВС;

М равноудалена от всех прямых, содержащих его стороны;

О - проекция М на плоскость ΔАВС.

МО = 6√2 см.

Найти: расстояние от точки М до сторон треугольника.

Решение:

• Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

⇒ МЕ = МН = МР - искомые расстояния.

• Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от сторон многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, вписанной в этот многоугольник.
• В правильном треугольнике точки пересечения медиан, биссектрис, высот, серединных перпендикуляров  совпадают. Эта точка называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей.

⇒ О - точка пересечения медиан, центр правильного треугольника.

1. Рассмотрим ΔАЕС - прямоугольный.

• В правильном треугольнике все углы равны 60°.

⇒ ∠ЕАС = 60°

• Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

⇒

$\displaystyle sin\angle{EAC}=\frac{EC}{AC}\\ \\EC=AC\cdot{sin\;60^0} = 6\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}} {2}=9\;_{(CM)}$

2. Рассмотрим ΔЕМО - прямоугольный.

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, начиная от вершины.

⇒ЕО = 9 : 3 · 1 = 3 (см)

По теореме Пифагора найдем КЕ:

МЕ² = ЕО² + ОМ² = 9 + 72 = 81

МЕ = √81 = 9 (см)

Расстояние от точки М до сторон треугольника равно 9 см.

#SPJ1