Question

Разложите выражения на множители x^3 − 9x^2 + 27x − 19

Answer 1

Можно заметить, что сумма коэффициентов многочлена равна 0, значит его корнем является число 1.

Тогда, можно разделить многочлен на двучлен $x-1$:

$\arraycolsep=0em\begin{array}{rrrrrrrr@{\,}r|l}\ \ &x^3&-&9x^2&+&27x&-&19&&\,x-1\\\cline{1-1}\cline{10-10}&x^3&-&x^2&&&&&&\,x^2-8x+19\\\cline{2-4}&&-&8x^2&+&27x&&\,\\\cline{2-2}&&-&8x^2&+&8x&&\\\cline{4-6}&&&&&19x&-&19\\\cline{5-5}&&&&&19x&-&19\\\cline{6-8}&&&&&&&0\,\\\end{array}$

Значит:

$x^3 - 9x^2 + 27x - 19=(x-1)(x^2-8x+19)$

Покажем, что квадратный трехчлен на линейные множители не раскладывается:

$x^2-8x+19=x^2-8x+16+3=(x^2-2\cdot x\cdot4+4^2)+3=(x-4)^2+3$

Также, можно было воспользоваться формулами сокращенного умножения: формулой куба разности и формулой суммы кубов:

$x^3 - 9x^2 + 27x - 19=x^3 - 9x^2 + 27x - 27+8=$

$=(x^3 - 3\cdot x^2\cdot3 +3\cdot x\cdot3^2 - 3^3)+8=(x -3)^3+2^3=$

$=(x -3+2)((x -3)^2-2(x-3)+2^2)=(x -1)(x^2-6x+9-2x+6+4)=$

$=(x -1)(x^2-8x+19)$