Полностью решить 3 или 4 номера одного из вариантов, выручайте. Гениям, которые выручат - стольник на карту вечером 13го числа. Оставляйте номер карты сразу, если шарите и поможете.
Ответы
Есть только 1 и 4 задания
№1
Даны стороны треугольника АВС, по т. Пифагора проверим, что он прямоугольный. ВС = √(АС² + АВ²) = √(25 + 144) = 13, все сходится, АВС прямоугольный, угол ВАС=90°, значит СА ⟂ ВА
ДС ⟂ плоскости (АВС) т.к высота. Из этого следует, что треугольник АСД, образованный ДС и АС, АС принадлежит плоскости основания (АВС), прямоугольный, угол АСД=90°. То же самое для треугольника ВСД, угол ВСД=90°.
Можем найти гипотенузы этих треугольников по теореме Пифагора
Для АСД: АД = √(АС² + ДС²) = √61
Для ВСД: ВД = √(ВС² + ДС²) = √205
Для АД: 7 < √61 < 8, т.к. √49=7, √64=8
Для ВД: 14 < √205 < 15
Это нам даёт, что в треугольнике АВД ВД может являться гипотенузой, если выполнится т. Пифагора. Пробуем:
ВД = √(АВ² + АД²) = √(61+144) = 13 следовательно АВД прямоугольный, угол ВАД=90°, отсюда ДА ⟂ ВА
СА ⟂ ВА и ДА ⟂ ВА
СА лежит на плоскости основания (АВС), ДА лежит на наклонной плоскости (АВД), ВА - ребро двугранного угла ДВАС (этот угол равен ДАС, одно и то же по факту). Найдем его
По условию АС=5, ДС=6, можем найти тангенс tg ДАС = 6/5, ДАС = arctg 6/5
Ответ: arctg 6/5
№4
Сделаем дополнительное построение треугольника АВС. АВ ⟂ плоскости (АСД) и АВ ⟂ АС, т.к. АС принадлежит плоскости (АСД), значит угол ВАС = 90°
Найдем диагональ куба ВС по т. Пифагора, для этого нужно знать стороны АВ и АС. АВ = а по условию, найдем АС как диагональ треугольника АДС в основании куба по т. Пифагора. АД = ДС = а, АС = √(АД² + ДС²) = √(2а²) = √2а
ВС = √(АВ² + АС²) = √(а² + 2а²) = √3а
Ответ √3а
Угол между диагональю куба ВС и плоскостью одной из его граней (возьмём нижнюю АДСД₁) это угол между ВС и прямой на плоскости АДСД₁ - АС (не помню , можно ли прямую обозначить двумя буквами типа АС, если что прямую всегда можно продлить на рисунке, а если нет то АС это отрезок, который лежит на прямой, принадлежащей плоскости и проходящей через точки А и С, которые и образуют отрезок). По сути ищем тангенс угла ВСА, tg ВСА = АВ/АС = а/(√2а) = √2/2
Ответ √2/2
№2 только догадки, но вдруг поможет
АС = 6, точка О делит диагональ пополам, АО = ОС = 3.
Треугольник АОН прямоугольный, т.к ОН высота. Найдем гипотенузу АН по т. Пифагора АН = √(3² + 4²) = 5. АН = СН = 5, т.к треугольник СОН=АОН по двум сторонам и углу между ними.
