Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Симметричные точки:

1) $\boxed{ \boldsymbol{ M_{1}' \bigg (1; -\dfrac{3 \pi}{4} \bigg) } }$

2) $\boxed{ \boldsymbol{ M_{2}' \bigg (5; - \dfrac{\pi}{2} \bigg )}}$

3) $\boxed{ \boldsymbol{ M_{3}' \bigg (2; \dfrac{2\pi}{3} \bigg )}}$

4) $\boxed{ \boldsymbol{ M_{4}' \bigg (4; -\dfrac{\pi}{6} \bigg )}}$

5) $\boxed{ \boldsymbol{ M_{5}' (3;\pi -2)}}$

Объяснение:

Так как точка симметричная относительно полюса, то полярный радиус останется не изменным, угол соответственно увеличится на $\pi$, то есть:

$\boxed{ \boldsymbol{M(r; \phi) \rightarrow M'(r; \phi + \pi )} }$ - симметрия относительно полюса

Если $(\phi + \pi) \not \in [-\pi;\pi]$, то следует перейти к преобразования $(\phi - \pi)$, при этом $r \geq 0$ по определению.

1)

$M_{1} \bigg (1; \dfrac{\pi}{4} \bigg )$

Так как $\bigg(\dfrac{\pi}{4} + \pi \bigg) \not \in [-\pi; \pi] \Longrightarrow\bigg(\dfrac{\pi}{4} - \pi \bigg) = \dfrac{\pi - 4\pi}{4} = -\dfrac{3 \pi}{4} \in [-\pi; \pi]$

Симметричная точка: $M_{1}' \bigg (1; -\dfrac{3 \pi}{4} \bigg)$

2)

$M_{2} \bigg (5; \dfrac{\pi}{2} \bigg )$

$\phi - \pi = \dfrac{\pi}{2} - \pi = \dfrac{\pi - 2\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2}$

Симметричная точка: $M_{2}' \bigg (5; - \dfrac{\pi}{2} \bigg )$

3)

$M_{3} \bigg (2; -\dfrac{\pi}{3} \bigg )$

$\phi + \pi = -\dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{3\pi - \pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$

Симметричная точка: $M_{3}' \bigg (2; \dfrac{2\pi}{3} \bigg )$

4)

$M_{4} \bigg (4; \dfrac{5\pi}{6} \bigg )$

$\phi - \pi = \dfrac{5\pi}{6} - \pi = \dfrac{5\pi - 6\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{6}$

Симметричная точка: $M_{4}' \bigg (4; -\dfrac{\pi}{6} \bigg )$

5)

$M_{5} (3;-2)$

$\phi + \pi = \pi -2$

Симметричная точка: $M_{5}' (3;\pi -2)$