Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\boldsymbol{V = 36}}$ кубических единиц

Примечание:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle V = \iiint\limits_{T} dxdydz } }$ - объем тела ограниченного областью $\boldsymbol T$.

Проектировать тело будем на плоскость $XY$, поэтому сведем тройной интеграл к повторному следующим образом:

$V =\displaystyle \iiint\limits_{T} dxdydz = \iint\limits_{G} dxdy \int\limits^{u_{2}(x,y)}_{u_{1}(x,y)} \, dz$

Распишем приведение двойного интеграла $\displaystyle \iint\limits_{G} dxdy$ к повторному:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области $G$  будет в виде:

$\displaystyle \iint\limits_{G} dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} \, dy$

При этом функции $\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)$ - функции ограничивающие область $G$  снизу и сверху соответственно.

Таким образом тройной интеграл расписывается следующим образом:

$V =\displaystyle \iiint\limits_{T} dxdydz = \iint\limits_{G} dxdy \int\limits^{u_{2}(x,y)}_{u_{1}(x,y)} \, dz = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} \, dy \int\limits^{u_{2}(x,y)}_{u_{1}(x,y)} \, dz$

То есть:

$\boxed{\boldsymbol{ V =\displaystyle \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} \, dy \int\limits^{u_{2}(x,y)}_{u_{1}(x,y)} \, dz}}$

Объяснение:

Область $T \ (XYZ)$ ограниченна поверхностями :

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$x + y + z = 6 \Longrightarrow z = 6 - x - y$

Область $G \ (XY) :$

$x = 0$

$y = 0$

Снизу область ограниченна функцией $z = 0$, а сверху функцией $z = 6 - x - y$

Пересечения плоскостей $z:$

$6 - x - y = 0 \Longrightarrow y = 6 - x$

Границы интегрирования: от 0 до 6

------------------------------------------------------------------

$\displaystyle V = \int\limits^{6}_{0} \, dx \int\limits^{6 - x}_{0} \, dy \int\limits^{6 - x - y}_{0} \, dz = \int\limits^{6}_{0} \, dx \int\limits^{6 - x}_{0} \bigg( \bigg( z\bigg) \bigg |_{0}^{6 - x -y} \bigg) \, dy =$

$\displaystyle = \int\limits^{6}_{0} \, dx \int\limits^{6 - x}_{0} \bigg( 6 - x - y \bigg) \, dy = \int\limits^{6}_{0} \bigg( \bigg( y(6 - x) - \frac{y^{2}}{2} \bigg) \bigg |_{0}^{6 - x} \bigg) \, dx =$

$\displaystyle = \int\limits^{6}_{0} \bigg( (6 - x)(6 - x) - \frac{(6 - x)^{2}}{2} \bigg) \, dx = \int\limits^{6}_{0} \bigg( (6 - x)^{2} - \frac{(6 - x)^{2}}{2} \bigg) \, dx =$

$\displaystyle = \int\limits^{6}_{0} \bigg( (6 - x)^{2} \bigg(1 - \frac{1}{2} \bigg) \bigg) \, dx = \frac{1}{2} \int\limits^{6}_{0} (6 - x)^{2} \, dx = -\frac{1}{2} \int\limits^{6}_{0} (6 - x)^{2} \, d(6 - x) =$

$\displaystyle = - \frac{1}{2} \Bigg( \frac{(6 - x)^{3}}{3} \bigg|_{0}^{6} \Bigg) =- \frac{1}{2} \Bigg( \frac{(6 - 6)^{3}}{3} - \bigg( \frac{(6 - 0)^{3}}{3} \bigg) \Bigg) = - \frac{1}{2} \cdot \bigg(-\frac{6^{3}}{3} \bigg)= \frac{6^{3}}{6}=$

$= 6^{2} = 36$ кубических единиц.