Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Пределы:

1) $\boxed{ \boldsymbol { \displaystyle \lim_{x \to 1} \bigg(\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^{3}} \bigg) = -1 } }$

2) $\boxed{ \boldsymbol { \displaystyle \lim_{x \to 2} \bigg(\frac{2}{x^{2} - 2x} - \frac{3}{x^{2} - 3x +2} \bigg) = 0,5 } }$

Объяснение:

38.5

1)

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \bigg(\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^{3}} \bigg) = -1$

а) Преобразуем выражение $\displaystyle \bigg(\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^{3}} \bigg) :$

$\displaystyle \bigg(\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^{3}} \bigg) = \frac{1}{1 - x} - \frac{3}{(1 - x)(1 + x + x^{2})} = \frac{1 + x + x^{2}-3}{(1 - x)(1 + x + x^{2})} =$$\displaystyle = \frac{x + x^{2} - 2}{(1 - x)(1 + x + x^{2})}$

б) разложим на множители выражение $x + x^{2} - 2:$

$x + x^{2} - 2 = 0$

$D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) =1 + 8 = 9 = 3^{2}$

$\displaystyle x_{1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$\displaystyle x_{2} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x + x^{2} - 2 = 1(x + 2)(x - 1) = (x - 1)(x + 2)$

в) воспользуемся результатами пункта а) и б)

$\displaystyle \frac{x + x^{2} - 2}{(1 - x)(1 + x + x^{2})} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{(1 - x)(1 + x + x^{2})} = \frac{-(1 - x)(x + 2)}{(1 - x)(1 + x + x^{2})} =$

$\displaystyle = \frac{-(x + 2)}{(1 + x + x^{2})}$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \bigg(\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^{3}} \bigg) = \lim_{x \to 1} \frac{-(x + 2)}{(1 + x + x^{2})} = \frac{-(1 + 2)}{(1 + 1 + 1^{2})} = \frac{-3}{3} =-1$

2)

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \bigg(\frac{2}{x^{2} - 2x} - \frac{3}{x^{2} - 3x +2} \bigg) = 0,5$

а) Преобразуем выражение $\displaystyle \bigg(\frac{2}{x^{2} - 2x} - \frac{3}{x^{2} - 3x +2} \bigg):$

$\displaystyle \bigg(\frac{2}{x^{2} - 2x} - \frac{3}{x^{2} - 3x +2} \bigg) = \frac{2}{x(x - 2)} - \frac{3}{x^{2} - 3x +2}$

б) разложим на множители выражение $x^{2} - 3x + 2:$

$x^{2} - 3x + 2 = 0$

$D = 9 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 = 1^{2}$

$\displaystyle x_{1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$\displaystyle x_{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x^{2} - 3x + 2 = 1(x - 1)(x - 2) = (x - 1)(x - 2)$

в) воспользуемся результатами пункта а) и б)

$\displaystyle \frac{2}{x(x - 2)} - \frac{3}{x^{2} - 3x +2} = \frac{2}{x(x - 2)} - \frac{3}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{2(x - 1) - 3x}{x(x - 1)(x - 2)} =$

$\displaystyle = \frac{2x - 2 - 3x}{x(x - 1)(x - 2)} = \frac{x - 2}{x(x - 1)(x - 2)} = \frac{1}{x(x - 1)}$

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \bigg(\frac{2}{x^{2} - 2x} - \frac{3}{x^{2} - 3x +2} \bigg) =\lim_{x \to 2} \frac{1}{x(x - 1)} = \frac{1}{2(2 -1)} = \frac{1}{2} = 0,5$