Question

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты уравнения x^3 + px + q = 0, чтобы один корень был равен сумме двух других корней?

Answer 1

Ответ:

Теорема Виетта: если Х1,Х2 и Х3-корни. то –(Х1+Х2+Х3)=0; Х1*Х2+Х1*Х3+Х2*Х3=р; X1*X2*X3=-q Чтобы найти коэффициент при Х в искомом уравнении, нужно посчитать –(X1^3+X2^3+X3^3),чтобы при Х, нужно посчитать X1^3*X2^3+X1^3*X3^3+X2^3*X3^3, свободный член равен:

-(X1^3*X2^3*X3^3)=q^3; - (X1^3+X2^3+X3^3)=-(X1^3+X2^3-(X1+X2)^3)=-(X1^3+X2^3-x1^3-3X1^2X2-3X1X2^2-X2^3)=3X1^2*X2+3X1*X2^2=3X1^2*(-q/X1*X3)+3X2^2(-q/X2*X3)=-3(q(X1/X3+X2/X3)=-3q(X1+X2)/X3=3q, здесь воспользовались равенством Х3=-(Х1+Х2) и X1=q/X2*X3; X2=q/X1*X3. Осталось посчитать самую длинную выкладку, сделайте это самостоятельно, выразив X1*X2=p-X1*X3-X2*X3 и применив два раза формулу куба разности, а потом два раза формулу квадрата суммы.

Пошаговое объяснение: