Question

На координатной плоскости нарисованы графики трёх приведённых квадратных трёхчленов, пересекающие ось ординат в точках −21,−16,−6 соответственно. У каждого из трёхчленов коэффициент при xx —— натуральное число, а больший корень —— простое число. Найдите сумму всех корней этих трёхчленов.

Answer 1

На координатной плоскости нарисованы графики трёх приведённых квадратных трёхчленов, пересекающие ось ординат в точках −21,−16,−6 соответственно. У каждого из трёхчленов коэффициент при x —— натуральное число, а больший корень —— простое число. Найдите сумму всех корней этих трёхчленов.

В уравнении приведенного квадратного трёхчлена свободный член - это точка пересечения графиком оси ординат.

Поэтому уравнения нарисованных графиков имеют вид:

x² + b1 - 21 = 0,

x² + b2 - 16 = 0,

x² + b3 - 6 = 0.

Коэффициенты b1...b3 натуральные числа - поэтому положительны и больше 1.

Подставляем разные их значения в уравнение.

Выражение: x^2+4*x-21=0

Ищем дискриминант:

D=4^2-4*1*(-21)=16-4*(-21)=16-(-4*21)=16-(-84)=16+84=100;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(2root100-4)/(2*1)=(10-4)/2=6/2=3;

x_2=(-2root100-4)/(2*1)=(-10-4)/2=-14/2=-7.

Решаем уравнение x^2+20*x-21=0:

Ищем дискриминант:

D=20^2-4*1*(-21)=400-4*(-21)=400-(-4*21)=400-(-84)=400+84=484;

x_1=(2root484-20)/(2*1)=(22-20)/2=2/2=1;

x_2=(-2root484-20)/(2*1)=(-22-20)/2=-42/2=-21.

Решаем уравнение x^2+6*x-16=0:

D=6^2-4*1*(-16)=36-4*(-16)=36-(-4*16)=36-(-64)=36+64=100;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(2root100-6)/(2*1)=(10-6)/2=4/2=2;

x_2=(-2root100-6)/(2*1)=(-10-6)/2=-16/2=-8.

Решаем уравнение x^2+15*x-16=0:

Тестовая функция, правильность не гарантируется

D=15^2-4*1*(-16)=225-4*(-16)=225-(-4*16)=225-(-64)=225+64=289;

x_1=(2root289-15)/(2*1)=(17-15)/2=2/2=1;

x_2=(-2root289-15)/(2*1)=(-17-15)/2=-32/2=-16.

Выражение: x^2+1*x-6=0

D=1^2-4*1*(-6)=1-4*(-6)=1-(-4*6)=1-(-24)=1+24=25;

x_1=(2root25-1)/(2*1)=(5-1)/2=4/2=2;

x_2=(-2root25-1)/(2*1)=(-5-1)/2=-6/2=-3.

Выражение: x^2+5*x-6=0

D=5^2-4*1*(-6)=25-4*(-6)=25-(-4*6)=25-(-24)=25+24=49;

x_1=(2root49-5)/(2*1)=(7-5)/2=2/2=1;

x_2=(-2root49-5)/(2*1)=(-7-5)/2=-12/2=-6.

Таким образом, для каждой заданной точки имеем по 2 решения. Поэтому искомая сумма коэффициентов может иметь множество вариантов:

C3(6)=6!3!⋅(6−3)!=6!3!⋅3!=4⋅5⋅61⋅2⋅3=20.