Question

найдите частное решение дифференциального уравнения первого порядка
y'=xe^-y, y(1)=0
очень срочно нужно, пожалуйста.​

Answer 1

Ответ:

$y'=xe^{-y}\ \ ,\ \ \ y(1)=0$

Это дифф. ур-е с разделяющимися переменными, так как оно имеет

вид   $y'=f_1(x)\cdot f_2(y)$  .

$\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}\ \ ,\ \ \frac{dy}{dx}=x\cdot e^{-y}\ \ ,\ \ \ \frac{dy}{e^{-y}}=x\, dx\ \ ,\\\\\\\int \frac{dy}{e^{-y}}=\int x\, dx\ \ \ \ ,\ \ \ \ \int e^{y}\, dy=\int x\, dx\ \ ,\ \ \ e^{y}=\frac{x^2}{2}+C\ \ ,$

$\underline{y=ln\Big(\dfrac{x^2}{2}+C\Big)\ }$   общее решение д.у.

Подставим начальные условия, найдём частное решение .

$y(1)=0:\ e^0=\dfrac{1^2}{2}+C\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 1=\dfrac{1}{2}+C\ \ \ ,\ \ \ C=\dfrac{1}{2}$

$y=ln\Big(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2}\Big)\ \ \Rightarrow \ \ \ \boxed{y=ln\dfrac{x^2+1}{2}}$    частное решение д.у.