Дан четырёхугольник ABCD, в котором AD∥BC. Биссектриса угла A пересекает сторону CD в точке X, а продолжение стороны BC за точку C — в точке Y. Оказалось, что ∠AXC=90∘.
Найдите длину отрезка AB, если известно, что AD=19 и CY=16 .
Ответы
Ответ:17,5 (ед. длины)
Объяснение:
АД║ВС⇒ АD║ВY.⇒
∠ВYА=∠YAD ( накрестлежащие). Но ∠ ВАY=∠DАY, ( АY- биссектриса). Поэтому ∠ВАY=∠BYA. ⇒
∆ АВY - равнобедренный по равным углам при основании AY. ⇒ AB=BY.
Проведем из т. В параллельно СD прямую до пересечения с AD в т. К. Обозначим её пересечение с АY – т.Н.
∠ ВНА=∠СХА=90° ( соответственные при ВY║AD и секущей ВК). ⇒
ВН - высота ∆ АВY.
В равнобедренном треугольнике высота = биссектриса = медиана ⇒
АН=HY
Рассмотрим ∆ АВК. Так как АН - биссектриса ( дано), и∠АНВ=90°, то BН – его высота. ⇒ ∆ АВК равнобедренный. АН - медиана, ⇒ ВН=НК, АК=АВ=ВY .
Прямоугольные ∆ ВYH и ∆ KАH равны по равным катетам.
Так как ВС║KD (дано), BK║CD ( по построению) то КВСD - параллелограмм, ⇒ ВС=KD.
АВ= ВY=СY+BC
АВ= AK=AD-KD ⇒
2 AB=BY+AK
2AB=СY+BC +AD-KD=CY+AD
AB=(16+19):2=17,5 (ед. длины)
