Question

y"-3y'+2y=(x-1)e^x решение

Answer 1

Решение.

$\bf y''-3y'+2y=(x-1)e^{x}$

ЛНДУ 2 пор. с пост. коэфф. со специальной правой частью .

1.   Характеристическое ур-е:  $\bf k^2-3k+2=0\ \ ,\ \ k_1=1\ ,\ k_2=2$ .

Общее решение ЛОДУ 2 пор. :   $\bf y_{o}=C_1e^{x}+C_2e^{2x}$  .

2.   Вид частного решения ЛНДУ 2 пор. будет таким же, как и вид

правой части , только ещё умноженной на  х , так как коэффициент

показателя у функции  $\bf e^{x}$  равен 1 , что совпадает с одним из корней

характ. многочлена :   $\bf \widetilde{y}=x\, (Ax+B)\, e^{x}=(Ax^2+Bx)\, e^{x}$ .

$\bf \widetilde{y}\, '=(2Ax+B)e^{x}+(Ax^2+Bx)e^{x}\\\\\widetilde{y}\, ''=2Ae^{x}+(2Ax+B)e^{x}+(2Ax+B)e^{x}+(Ax^2+Bx)e^{x}$

Составим выражение как в левой части и упростим его .

$\bf \widetilde{y}\, ''-3\widetilde{y}\, '+2\widetilde{y}=(2Ax+B)e^{x}+4Ae^{x}=(x-1)e^{x}\\\\2Ax+B+4A=x-1$

Найдём коэфф-ты А и В по методу неопределённых коэффициентов

$\bf x\ \ \, |\ 2A=1\ \ ,\qquad \quad \ A=0,5\\x^0\ |\ B+4A=-1\ \ ,\ \ B=-1-4A=-1-4\cdot 0,5=-1-2=-3\\\\\widetilde{y}=(0,5x^2-3x)e^{x}$

3.   Общее решение ЛНДУ 2 пор.:  $\bf y=y_{o}+\widetilde{y}$  .

   $\bf y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}+(0,5x^2-3x)e^{x}$