Question

Знайти точки екстремуму функції:
у = х⁴ + 4x³ - 8x² - 9

Варіанти відповідей:
а)Xmin = -4; Xmin = 1; Xmax = 0;
б)Xmax =-4; Xmin = -1; Xmax = 0;
в)Xmin = 4; Xmin = -1; Xmax = 0;
г)Xmax = -4; Xmin = 1; Xmax = 0;

Answer 1

Ответ:

вариант а)      $\boldsymbol {\displaystyle x_{max} = 0;\quad x_{min} = 1;\quad x_{min} = (-4)}$

Пошаговое объяснение:

у = х⁴ + 4x³ - 8x² - 9

Используем необходимое условие существования критических точек.

Найдем критические точки функции.

Первая производная

y' = 4x³ + 12x² - 16x

Приравняем ее к нулю

4x³ + 12x² - 16x = 0

4x(x² + 3x - 4) = 0

Первая точка х₁ = 0

Найдем корни уравнения

x² + 3x - 4

D = b² - 4ac = 9 - 4*(-4) = 9 + 16 = 25

Тогда еще два корня

$\displaystyle x_2 = \frac{-b+\sqrt{D} }{2} =\frac{-3+5}{2 }= 1\\\\\\ x_3 = \frac{-b-\sqrt{D} }{2} =\frac{-3-5}{2 }=-4$

Таким образом, мы получили еще 2 критические точки

х₂ = 1;     х₃ = -4

Посмотрим, в какой точке минимум, в какой максимум.

Для этого используем  достаточное условие экстремума функции. Найдем вторую производную

y'' = 12x² + 24x - 16

Смотрим знаки производной в критических точках.

y''(0) = -16 < 0 - значит точка x₁ = 0 точка локального максимума.

y''(1) = 20 > 0 - значит точка x₂ = 1 точка локального минимума.

y''(-4) = 80 > 0 - значит точка x₃ = -4 точка локального минимума.

Найдем значения функции в критических точках

Таким образом, у нас две точки локального минимума и одна точка локального максимума.

$\large \boldsymbol {\displaystyle x_{max} = 0;\quad x_{min} = 1;\quad x_{min} = (-4)}$

#SPJ1