Около окружности радиуса 3 описана равнобедренная трапеция.Площадь четырехугольника,вершинами которого являются точки касания окружности и трапеции равна 12.Найти площадь трапеции
Ответы
сделаем все построения
r= 3 радиус вписанной окружности
S=12 Площадь четырехугольника
в четыреугольнике диагонали d1=2r=6 и d2 пересекаются под прямым углом а
Площадь четырехугольника,вершинами которого являются точки касания окружности S=1/2*d1*d2*sin а =1/2* 6 *d2* sin 90= 3*d2 ; 12=3*d2 ; d2=4
смотрите, в этом 4 угольнике диагонали взаимно перпендикулярны, и одна из них - диаметр окружности, то есть 6. Площадь такого 4угольника равна половине произведения диагоналей (докажите, это просто). Значит расстояние между точками касания 12*2/6 = 4. А половина - 2. Значит sin(Ф) =2/3. Ф - половина центрального угла хорды, соединяющей точки касания. ОЧЕНЬ ЛЕГКО увидеть, что Ф - угол при большом основании трапеции (просто стороны углов перпендикулярны). А дальше, вычисляете боковую сторону (диаметр делить на sin(Ф)), она равна средней линии (почему? - это следует из свойства описанного 4угольника:)), умножаете на диаметр, задача решена. Собрав все это получаем (2*r)^2/sin(Ф) = 54.
Это я перенес из сообщения, некоторые места я не объясняю, в надежде, что вы сами из объясните, это просто.
