Question

Знайдіть кут між векторами AB і CD якщо A(0;1;1), B(1;1;2), C(2;-2;2), D(2;-3;1).

Answer 1

Ответ:

$A(0;1;1)\ ,\ B(1;1;2)\ ,\ C(2;-2;2)\ ,\ D(2;-3;1)$

Найдём координаты векторов .

$\overline{AB}=(1-0;1-1;2-1)=(1;0;1)\\\\\overline{CD}=(2-2;-3+2;1-2)=(0;-1;-1)$

Длины векторов

 $|\overline{AB}|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt2\\\\|\overline{CD}|=\sqrt{0^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt2$

Скалярное произведение векторов  

$\overline{AB}\cdot \overline{CD}=1\cdot 0+0\cdot (-1)+1\cdot (-1)=-1$  

Косинус угла между векторами равен

$cos\varphi =\dfrac{\overline{AB}\cdot \overline{CD}}{|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|}=\dfrac{-1}{\sqrt2\cdot \sqrt2} =-\dfrac{1}{2}\ \ \Rightarrow \ \ \ \varphi =120^\circ$