Question

. Послідовність (bn) — геометрична прогресія. Знайдіть b1 і q, якщо b3 = 45 і S3 = 65. ​

Answer 1

Ответ:

$5 \ , \ 3 \ ; \quad 80 \ , \ -\dfrac{3}{4} \ ;$

Объяснение:

$b_{n}=b_{1} \cdot q^{n-1} \Rightarrow b_{3}=b_{1} \cdot q^{2} \Rightarrow b_{1}=\dfrac{b_{3}}{q^{2}};$

$S_{n}=\dfrac{b_{1}(1-q^{n})}{1-q} \Rightarrow S_{3}=\dfrac{\dfrac{b_{3}}{q^{2}}(1-q^{3})}{1-q} \Rightarrow \dfrac{b_{3}(1-q^{3})}{q^{2}(1-q)}=65;$

$\dfrac{45(1-q)(1+q+q^{2})}{q^{2}(1-q)}=65;$

$\dfrac{9(1+q+q^{2})}{q^{2}}=13;$

$9+9q+9q^{2}=13q^{2};$

$13q^{2}-9q^{2}-9q-9=0;$

$4q^{2}-9q-9=0;$

$D=b^{2}-4ac \Rightarrow D=(-9)^{2}-4 \cdot 4 \cdot (-9)=81+144=225; \quad \sqrt{D}=15;$

$q_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \Rightarrow q_{1}=\dfrac{-(-9)+15}{2 \cdot 4}=3; \quad q_{2}=\dfrac{-(-9)-15}{2 \cdot 4}=-\dfrac{3}{4};$

$q_{1}=3 \Rightarrow b_{1}=\dfrac{45}{3^{2}}=\dfrac{45}{9}=5;$

$q_{2}=-\dfrac{3}{4} \Rightarrow b_{1}=\dfrac{45}{\bigg (-\dfrac{3}{4} \bigg )^{2}}=\dfrac{45}{\dfrac{9}{16}}=45 \cdot \dfrac{16}{9}=5 \cdot 16=80;$