Question

Визначити найбільше значення функції у=х/(36+х^2 ) на проміжку [0; +∞). Вказати стаціонарні точки.

Answer 1

y=x/(36+x²)  

область визначення х²+36≠0 ⇒ х²≠-36⇒ нема розв'язкі⇒D(y)=(-∞;∞)

Обчіслюємо похідну функції

$y=(\frac{x}{x^2+36} )'=\frac{x'(x^2+36)+(x^2+36)'x}{(x^2+36)^2} =\frac{1*(x^2+36)+x(2x+0)}{(x^2+36)^2} =\frac{3x^2}{(x^2+36)^2}$

Трошкі теорії:

Критичні точці - точці, при якіх похідна функції дорівнює 0 або не існує.

Стаціонарні точці - критичні точці, при яках похідна функції дорівнює 0.

Тоді ми отримуємо:

1)3х²/(х²+36)²=0

3х²=0 ⇒ х=0  стаціонарна точка

2)(36+х²)²=0 ⇒ 36+х²=0 ⇒-36=х² ⇒ нема розв'язкі ⇒ нема таких критичних точок, при якіх похідна функції не існує

0 ∈ [0;∞)

Найбільше або найменше значення функції існує в критичних точек або в гранічних. Так як проміжек [0;∞) обмежен с одной сторонці, які має критичну точку,  то він дасть найбільше значення

f(0)=0/(36+0²)=0  найбільше значення