Question

В равнобедренной трапеции основания равны 8 и 12 см, меньший угол равен альфа. Найдите периметр и площадь трапеции.

Answer 1

Из условия AD = 12 см и BC = 8 см, ∠D = α.

Отрезок $KD=dfrac{AD-BC}{2} =dfrac{12-8}{2}=2$ см. Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник CKD.

Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе, то есть

$cos angle CDK=dfrac{KD}{CD} ~~Rightarrow~~~ CD=dfrac{KD}{cosangle CDK} =dfrac{2}{cos alpha}$ см

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, т.е. $AB=CD=dfrac{2}{cos alpha}$ см

Периметр трапеции: $P=AD+BC+2cdot AB=20+dfrac{4}{cos alpha}$ см

Котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему катету

$mathrm{ctg}angle CDK=dfrac{KD}{CK} ~~Rightarrow~~ CK=dfrac{KD}{mathrm{ctg}angle CDK}=dfrac{2}{mathrm{ctg} alpha}$ см

Площадь трапеции: $S=dfrac{AD+BC}{2}cdot CK =dfrac{12+8}{2}cdot dfrac{2}{mathrm{ctg} alpha} =20mathrm{tg} alpha$ см²