Question

довжина лінії у=2/3×(х+1)³/², х Є[0,8]

Answer 1

Ответ:

искомая длина дуги     $\displaystyle \boldsymbol {L=\frac{4\sqrt{2} }{3} (5\sqrt{5} -1)}$

Пошаговое объяснение:

Формула

$\displaystyle L=\int\limits^a_b {\sqrt{1+\bigg (y'(x)\bigg)^2} } \, dx$

просто считаем подынтегральную функцию

$\displaystyle y'(x) = \bigg(\frac{2}{3} (x+1)^{3/2}\bigg )'=\frac{2}{3} *\frac{3}{2} =(x+1)^{1/2}=\sqrt{x+1}$

$\displaystyle \sqrt{1+\bigg(\sqrt{x+1}\bigg)^2 } =\sqrt{1+x+1} =\sqrt{x+2}$

Теперь мы имеем почти простой интеграл

$\displaystyle L=\int\limits^8_0 {\sqrt{x+2} } \, \;dx =\left[\begin{array}{ccc}u=x+2&du=dx\\u_0=2+0=2&&\\u_1=2+8=10&\end{array}\right] =\\\\\\=\int\limits^{10}_2 {\sqrt{u} } \, \;du =\frac{2u^{3/2}}{3} \bigg|_2^{10}=\boldsymbol {\frac{4\sqrt{2} }{3} (5\sqrt{5} -1)}$