Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol {V = \frac{128}{15} } }$ кубических единиц

Примечание:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle V = \iint_{G} f(x,y) \, dxdy }}$ - объем цилиндрического тела с образующими, параллельными оси $OZ$ , ограниченное снизу областью $G$, а сверху поверхностью $z = f(x,y) \geq 0$ (область $G$ рис(1) ).

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области $G$ будет в виде:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} {f(x,y)} \, dy } }$

При этом функции $\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)$ - функции ограничивающие область $G$  снизу и сверху соответственно.

Объяснение:

Тело с объемом $V:$ (уравнения в координатах $XYZ)$

$y = \sqrt{x}$

$y = 2\sqrt{x}$

$z = 0$

$x + z = 4 \Longrightarrow z = 4 - x$

Найдем прямую пересечения плоскостей $z:$

$4 - x =0 \Longrightarrow x = 4$

Область $G:$

$y = \sqrt{x}$ (ограничивает область в плоскости $XOY$)

$y = 2\sqrt{x}$ (ограничивает область в плоскости $XOY$)

Найдем абсциссу пересечения кривых $y = \sqrt{x}$ и $y = 2\sqrt{x}:$

$\sqrt{x} = 2\sqrt{x}$

$\sqrt{x} =0 \Longrightarrow x =0$

Границы интегрирования: 0 до 4

---------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle V = \iint_{G} {(4 - x)} \, dxdy = \int\limits^{4}_{0} \, dx \int\limits^{2\sqrt{x} }_{\sqrt{x} } {(4 - x)} \, dy =$

$\displaystyle = \int\limits^{4}_{0} \bigg( \bigg(y(4 - x) \bigg) \bigg|_{\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}} \bigg) \, dx = \int\limits^{4}_{0} \bigg( 2\sqrt{x} (4 - x) - \sqrt{x} (4 - x) \bigg) \, dx =$

$\displaystyle = \int\limits^{4}_{0} \bigg((2\sqrt{x} - \sqrt{x} ) (4 - x) \bigg) \, dx = \int\limits^{4}_{0} \bigg(\sqrt{x} (4 - x) \bigg) \, dx =$

------------------------------------------------------------

Замена: $\sqrt{x} = t \Longrightarrow x = t^{2}$

$dx = d(t^{2}) \ dt$

$dx = 2t \ dt$

Границы интегрирования: от 0 до 2

$t_{1} = \sqrt{0} = 0$

$t_{2} = \sqrt{4} = 2$

---------------------------------------------------------------

$\displaystyle = \int\limits^{4}_{0} \bigg(\sqrt{x} (4 - x) \bigg) \, dx =\int\limits^{2}_{0} \bigg(t (4 - t^{2}) \cdot2t \bigg) \, dt = \int\limits^{2}_{0} \bigg(2t^{2} (4 - t^{2}) \bigg) \, dt =$

$\displaystyle =2 \int\limits^{2}_{0} \bigg(4t^{2} - t^{4} \bigg) \, dt = 2 \bigg ( \bigg (4 \cdot \frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{5}}{5} \bigg) \bigg |_{0}^{2} \bigg) = 2 \bigg ( \bigg (4 \cdot \frac{2^{3}}{3} - \frac{2^{5}}{5} \bigg) - \bigg (4 \cdot \frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{5}}{5} \bigg) \bigg) =$$\displaystyle = 2 \bigg (2^{5} \bigg( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} \bigg) = 2^{6} \bigg(\dfrac{5}{15} - \dfrac{3}{15} \bigg ) = 2^{6} \cdot \frac{5 - 3}{15} = \dfrac{2^{7}}{15} = \frac{128}{15}$ кубических единиц