Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

1)

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x^{2} - 5x + 6} =4 } }$

2)

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x^{3} - 3x - 2}{x^{3} - 8} = \frac{16}{19} } }$

3)

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{3x^{4} - 5x^{2} - 12x - 4}{x^{2} - 4} = 16 } }$

4)

$\boxed{ \boldsymbol{ \lim_{x \to-1} \dfrac{x^{5} + 1}{x + 1} =5 } }$

Примечание:

$\lim_{x \to a} f(a) = f(a)$ если  $f$ существует в точке $a$

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Если:

1) $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$

2) функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в окрестности точки $x = a$

3) $\exists \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

По правилу Лопиталя:

$\boxed{ \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \bigg [ \dfrac{0}{0} \bigg ] = \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} }$

Объяснение:

1)

$\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x^{2} - 5x + 6} = \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] =\lim_{x \to 3} \dfrac{(x^{2} - 2x - 3)'}{(x^{2} - 5x + 6)'} = \lim_{x \to 3} \dfrac{2x - 2}{2x - 5} = \dfrac{2 \cdot 3 - 2}{2 \cdot 3 - 5} =$

$= \dfrac{2 \cdot 3 - 2}{2 \cdot 3 - 5} = \dfrac{6 - 2}{6 - 5} = \dfrac{4}{1} = 4$

2)

$\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x^{3} - 3x - 2}{x^{3} - 8} = \dfrac{3^{3} - 3 \cdot 3 - 2}{3^{3} - 8} = \frac{27 - 9 - 2}{27 - 8} = \frac{16}{19}$

3)

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{3x^{4} - 5x^{2} - 12x - 4}{x^{2} - 4} = \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] = \lim_{x \to 2} \dfrac{(3x^{4} - 5x^{2} - 12x - 4)'}{(x^{2} - 4)'} =$

$= \lim_{x \to 2} \dfrac{12x^{3} - 10x - 12}{2x} = \dfrac{12 \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2 - 12}{2 \cdot 2} =\dfrac{12 \cdot 8 - 20 - 12}{4} =$

$= 12 \cdot 2 - 5 - 3 = 24 - 8 =16$

4)

$\lim_{x \to-1} \dfrac{x^{5} + 1}{x + 1} = \bigg [\dfrac{0}{0} \bigg ] = \lim_{x \to-1} \dfrac{(x^{5} + 1)'}{(x + 1)'} = \lim_{x \to-1} \dfrac{5x^{4}}{1} = 5 \cdot (-1)^{4} = 5$