Question

Срочно!!
Пожалуйста помогите решить тригонометрическое уравнение
tg 3x + cos 6x = 1

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$

Следствие из него:

$\mathrm{tg}^2\, \alpha +1=\dfrac{1}{\cos^2\alpha }$

$\cos^2\alpha=\dfrac{1}{\mathrm{tg}^2\, \alpha +1}$

Формула косинуса двойного угла:

$\cos2\alpha =2\cos^2\alpha -1$

Рассмотрим уравнение:

$\mathrm{tg}\, 3x + \cos 6x = 1$

ОДЗ: $\cos3x\neq 0\Rightarrow 3x\neq \dfrac{\pi }{2} +\pi n\Rightarrow x\neq \dfrac{\pi }{6} +\dfrac{\pi n}{3} ,\ n\in\mathbb{Z}$

$\mathrm{tg}\, 3x + 2\cos^23x-1 = 1$

$\mathrm{tg}\, 3x + \dfrac{2}{\mathrm{tg}^2\,3x+1}-1 - 1=0$

$\mathrm{tg}\, 3x -2+ \dfrac{2}{\mathrm{tg}^2\,3x+1}=0$

$(\mathrm{tg}\, 3x -2)(\mathrm{tg}^2\,3x+1)+ 2=0$

$\mathrm{tg}^3\,3x-2\mathrm{tg}^2\,3x+\mathrm{tg}^2\,3x-2+2=0$

$\mathrm{tg}^3\,3x-2\mathrm{tg}^2\,3x+\mathrm{tg}^2\,3x=0$

$\mathrm{tg}\,3x(\mathrm{tg}^2\,3x-2\mathrm{tg}\,3x+1)=0$

$\mathrm{tg}\,3x(\mathrm{tg}\,3x-1)^2=0$

Уравнение распадается на два. Решаем первое уравнение:

$\mathrm{tg}\,3x=0$

$3x=\pi n$

$x_1=\dfrac{\pi n}{3} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Решаем второе уравнение:

$(\mathrm{tg}\,3x-1)^2=0$

$\mathrm{tg}\,3x-1=0$

$\mathrm{tg}\,3x=1$

$3x=\dfrac{\pi }{4} +\pi n$

$x_2=\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi n}{3} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\dfrac{\pi n}{3};\ \dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi n}{3} ,\ n\in\mathbb{Z}$