Question

1) Знайдіть точки екстремуму та інтервали монотонності y=1/4x^4-x^2
2) Чому дорівнює найменше значення функції f(x)=2+3x^2-x^3 на проміжку [-1; 1]?

1) Найдите точки экстремума и интервалы монотонности y=1/4x^4-x^2
2) Чему равно наименьшее значение функции f(x)=2+3x^2-x^3 на промежутке [-1; 1]?

Answer 1

Ответ:

1) x₁ = –√2, x₂ = 0, x₃ = √2 являются точками экстремума;

Интервалы монотонности (возрастание и убывание функции):

а) функция убывает при х∈(–∞; –√2)∪(0; √2);

б) функция возрастает при х∈(–√2; 0)∪(√2; +∞).

2) yнаим = 2 и yнаиб=6 на промежутке [-1; 1]

Пошаговое объяснение:

1) Алгоритм нахождения точек экстремума.

1. Найти область определения функции.
2. Найти её производную f '(x).
3. Найти точки, в которых f '(x) не существует.
4. Найти точки в которых f '(x) = 0.
5. Отметить на числовой прямой область определения функции и все точки, выявленные в пункте 3 и пункте 4. Получатся промежутки области определения, на которых производная сохраняет постоянный знак.
6. Определить знак f '(x) для каждого промежутка. (Чаще всего это делается подстановкой "удобного" значения x из этого промежутка в полученную в пункте 2 формулу для производной.)
7. Определить по знакам производной участки возрастания и убывания функции и сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума и его характере в каждой из критических точек.

Решение. Дана функция:

$\tt y=\dfrac{1}{4}\cdot x^4-x^2.$

Находим точки экстремума:

1. Область определения функции: D(y)=R.

2. Производная от функции:

$\tt y'=(\dfrac{1}{4}\cdot x^4-x^2)'=\dfrac{1}{4}\cdot (x^4)'-(x^2)'=\dfrac{1}{4}\cdot 4 \cdot x^3-2 \cdot x=x^3-2 \cdot x.$

3.  y' существует для всех x∈R.

4. Находим значения аргумента х, при которых y' = 0:

x³–2·x=0 ⇔ x·(x²–2)=0 ⇔ x·(x–√2)·(x+√2)=0⇒ x₁ = –√2, x₂ = 0, x₃ = √2.

5-6-7. Таблица проверки на экстремум точек x₁ = –√2, x₂ = 0, x₃ = √2 в приложенном рисунке.

Значит, x₁ = –√2, x₂ = 0, x₃ = √2 являются точками экстремума.

По таблице определяем интервалы монотонности (возрастание и убывание функции):

а) функция убывает при х∈(–∞; –√2)∪(0; √2);

б) функция возрастает при х∈(–√2; 0)∪(√2; +∞).

2) Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции f(x) на отрезке [a;b]:

1. Найти производную f′(x).
2. Найти стационарные (точки в которых f '(x) = 0) и критические (точки, в которых f '(x) не существует) точки функции, лежащие внутри отрезка [a;b].
3. Вычислить значения функции y=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет yнаим) и наибольшее (это будет yнаиб).

Решение. Дана функция

$\tt f(x)=2+3\cdot x^2-x^3$

на промежутке [–1; 1].

1. Находим производную:

f '(x) = (2 + 3·x² – x³)' = 0 + 3·2·x – 3·x² = 6·x – 3·x².

2. Находим значения аргумента х, при которых y' = 0 (стационарные точки):

6·x – 3·x² = 0 ⇔ 3·x·(2– x) = 0 ⇒ x₁ = 0 ∈ [–1; 1] - подходит, x₂ = 2 ∉ [–1; 1] - не подходит.

Так как производная определена на [–1; 1], то в промежутке [–1; 1] нет критических точек.

3. Вычислим значения функции f(x) = 2 + 3·x² – x³ в точке х = 0 и в точках –1 и 1:

f(–1) = 2 + 3·(–1)² – (–1)³ = 2 + 3 + 1 = 6;

f(0) = 2 + 3·0² – 0³ = 2 + 0 – 0 = 2;

f(1) = 2 + 3·1² – 1³ = 2 + 3 – 1 = 4.

yнаим = 2 и yнаиб=6.

#SPJ1