Question

1) Знайдіть точки екстремуму та інтервали монотонності y=1/4x^4-x^2
2) Чому дорівнює найменше значення функції f(x)=2+3x^2-x^3 на проміжку [-1; 1]?

1) Найдите точки экстремума и интервалы монотонности y=1/4x^4-x^2
2) Чему равно наименьшее значение функции f(x)=2+3x^2-x^3 на промежутке [-1; 1]?

Answer 1

Ответ:

1) Функция y=1/4x^4-x^2

Возрастает на промежутках: [-√2; 0]; [√2; +∞);

Убывает на промежутках: (-∞; -√2]; [0; √2].

х min = ±√2;     x max = 0

2) Наименьшее значение функции f(x)=2+3x^2-x^3 на промежутке [-1; 1] равно 2.

Пошаговое объяснение:

1) Найдите точки экстремума и интервалы монотонности y=1/4x⁴-x²;

2) Чему равно наименьшее значение функции f(x)=2+3x²-x³ на промежутке [-1; 1]?

1. y = 1/4x⁴-x²

Найдем производную.

Приравняем ее к нулю и найдем корни.

Отметим корни на координатной оси и определим знак производной на промежутках.

• Если ПЛЮС, то функция возрастает, если МИНУС, то убывает.

$\displaystyle y=\frac{1}{4} x^4-x^2\\\\y'=\frac{1}{4}\cdot4x^3-2x=x^3-2x=x(x-\sqrt{2} )(x+\sqrt{2} )\\\\x(x-\sqrt{2} )(x+\sqrt{2} )=0\\\\x_1=0;\;\;\;\;\;x_2=\sqrt{2};\;\;\;\;\;x_3=-\sqrt{2}$

См. вложение.

Возрастает на промежутках: [-√2; 0]; [√2; +∞);

Убывает на промежутках: (-∞; -√2]; [0; √2].

• Если производная меняет знак с минуса на плюс, то в данной точке будет минимум, если с плюса на минус - максимум.

⇒ х min = ±√2;     x max = 0

2. f(x) = 2 + 3x² - x³;     [-1; 1]

Найдем значение функции на концах промежутка:

х = -1

f(-1) = 2 + 3 · (-1)² - (-1)³ = 2 + 3 + 1 = 6

x = 1

f(1) = 2 + 3 · 1² - 1³ = 2 + 3 - 1 = 4

Найдем экстремумы.

Для этого найдем производную и приравняем к нулю:

f'(x) = 0 + 3 · 2x - 3x² = 3x(2 - x)

3x(2 - x) = 0

х₁ = 0;     х₂ = 2 - не входит в промежуток.

См. вложение.

х min = 0;  

f(0) = 2;

Получили три значения функции:

f(-1) = 6;     f(1) = 4;     f(0) = 2

⇒ Наименьшее значение функции f(x)=2+3x^2-x^3 на промежутке [-1; 1] равно 2.

#SPJ1